Question

【題目】如圖，△ABC中，∠B＝45°，BC＝4，BC邊上的高AD＝1，點P1、Q1、H1分別在邊AD、AC、CD上，且四邊形P1Q1H1D為正方形，點P2、Q2、H2分別在邊Q1H1、CQ1、CH1上，且四邊形P2Q2H2H1為正方形，…，按此規律操作下去，則線段CQ2020的長度為________

Answer 1

【答案】

【解析】

先求得BD、DC、AC的長，設P1D=x，則AP1=-x，P1Q1=H1Q1=H1D=P1D=x，再根據正方形性質可得AD//Q1H1,所以△ADC∽△CH1Q1,然后求的△ADC和△CH1Q1的相似比，同理求得△Q1H1C和△CH2Q2的相似比，然后總結規律即可解答．

解：∵BC邊上的高AD＝1，∠B＝45°

∴BD=1

∴DC=BC-BD=4-1=3

∵AD⊥DC

∴AC=

設P1D=x，則AP1=-x，P1Q1=H1Q1=H1D=P1D =x

∵P1Q1H1D是正方形

∴AD//Q1H1，

∴△ADC∽△CH1Q1,

∴ 即，解得x=

∴P1Q1=H1Q1=H1D=P1D=，

∴△ADC和△CH1Q1的相似比為

同理：△Q1H1C和△CH2Q2的相似比

∴△ADC和△CH2Q2的相似比

依次類推，△ADC和△CH2020Q2020的相似比為

∴即

∴=

故答案為．