Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝﹣且經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．

（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．

（3）拋物線上有一點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①B（1，0）；②y＝x2x+2；（2）△PAC的面積有最大值是4，P（﹣2，3）；（3）M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18）

【解析】

（1）①先根據直線的解析式求出A,C的坐標，再利用拋物線的對稱軸即可求出點B的坐標；

②將拋物線的解析式設成兩點式，然后利用待定系數法即可求解；

（2）過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，設，則Q（m，m+2），表示出PQ，然后利用求解即可；

（3）以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，則有或，設，則，分別利用勾股定理求出AC,BC的長度，然后建立關于t的方程求解即可．

解：（1）①令，則，解得，令，則，

∴．

∵拋物線的對稱軸為 ，

，

；

②∵拋物線y＝ax2+bx+c過A（﹣4，0），B（1，0），

∴可設拋物線解析式為y＝a（x+4）（x﹣1）．

又∵拋物線過點C（0，2），

∴2＝﹣4a

∴a＝

∴y＝x2x+2．

（2）過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，

設，則Q（m，m+2），

∴當m＝﹣2時，△PAC的面積有最大值是4．

當m＝﹣2時，，

∴此時P（﹣2，3）．

（3）

∴以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，則有或

∵

設，則

若，則

解得或，

此時M的坐標為或 ；

若，則

解得或，

此時M的坐標為或 ；

綜上所述，M的坐標為M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18）．