Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形 ABE．點F是對角線BD上一動點（點F不與點B重合），將線段AF繞點A順時針方向旋轉60°得到線段AM，連接FM．

（1）求AO的長；
（2）如圖2，當點F在線段BO上，且點M，F，C三點在同一條直線上時，求證：AC= AM；

（3）連接EM，若△AEM的面積為40，請直接寫出△AFM的周長．
溫馨提示：考生可以根據題意，在備用圖中補充圖形，以便作答

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD= BD，

∵BD=24，

∴OB=12，

在Rt△OAB中，

∵AB=13，

∴OA= = =5．

（2）

證明：如圖2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，

由已知AF=AM，∠MAF=60°，

∴△AFM為等邊三角形，

∴∠M=∠AFM=60°，

∵點M，F，C三點在同一條直線上，

∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，

∴∠FAC=∠FCA=30°，

∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，

在Rt△ACM中，∠ACM=180°﹣90°﹣60°=30°．

∴AC= AM．

（3）

解：如圖3，連接EM，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB，∠EAB=60°，

由（1）知△AFM為等邊三角形，

∴AM=AF，∠MAF=60°，

∴∠EAM=∠BAF，

在△AEM和△ABF中，

，

∴△AEM≌△ABF（SAS），

∵△AEM的面積為40，△ABF的高為AO

∴ BFAO=40，BF=16，

∴FO=BF﹣BO=16﹣12=4，

AF= = ，

∴△AFM的周長為3 ．

【解析】（1）在Rt△OAB中，利用勾股定理OA= 求解．（2）由四邊形ABCD是菱形，求出△AFM為等邊三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，可得∠ACM=30°，即可．（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面積為40求出BF，在利用勾股定理AF= = = ，得出△AFM的周長為3 ．
【考點精析】通過靈活運用全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等即可以解答此題．