Question

【題目】在數學課上，老師提出一個問題“用直尺和圓規作以AB為底的等腰直角三角形ABC”．

小美的作法如下：

①分別以點A，B為圓心，大于AB作弧，交于點M，N；

②作直線MN，交AB于點O；

③以點O為圓心，OA為半徑，作半圓，交直線MN于點C；

④連結AC，BC．

所以，△ABC即為所求作的等腰直角三角形．

請根據小美的作法，用直尺和圓規作以AB為底的等腰直角三角形ABC，并保留作圖痕跡．這種作法的依據是 ．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等和直徑所對的圓周角是直角.

【解析】

（1）按題目中敘述的方法和步驟進行操作，畫出圖形即可；

（2）根據作圖方法和過程可知：①MN是線段AB的垂直平分線，點C在MN上，由此可得AC=BC；②AB是半圓O的直徑，由此可得∠ACB=90°；兩者結合即可得到△ABC是等腰直角三角形，從而可知該題的作圖依據是：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等和直徑所對的圓周角是直角.

（1）如下圖，圖中△ABC為所求三角形；

（2）根據作圖方法和過程可知：

①MN是線段AB的垂直平分線，點C在MN上，

∴AC=BC（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）；

②AB是半圓O的直徑，

∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；

∴綜上所述，可得△ABC是等腰直角三角形.

∴該題的作圖依據是：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等和直徑所對的圓周角是直角.