Question

【題目】如圖，點A、F、C、D在同一直線上，點B和點E分別在直線AD的兩側，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．

（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形，

（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，當AF為何值時，四邊形BCEF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易證得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四邊形BCEF是平行四邊形；

（2）由四邊形BCEF是平行四邊形，可得當BE⊥CF時，四邊形BCEF是菱形，所以連接BE，交CF與點G，證得△ABC∽△BGC，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得AF的值．

試題解析：（1）證明：∵AF=DC，

∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，

∴BC∥EF，

∴四邊形BCEF是平行四邊形．

（2）解：連接BE，交CF于點G，

∵四邊形BCEF是平行四邊形，

∴當BE⊥CF時，四邊形BCEF是菱形，

∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，

∴△ABC∽△BGC，

∴，

即，

∴CG=，

∵FG=CG，

∴FC=2CG=，

∴AF=AC-FC=5-=，

∴當AF=時，四邊形BCEF是菱形．