Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的函數表達式

（2）如圖1，點為第四象限拋物線上一點，連接，交于點，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值；

（3）如圖2，連接，，過點作直線，點，分別為直線和拋物線上的點．試探究：在第一象限是否存在這樣的點，，使．若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）利用待定系數法進行求解即可；

（2）過點作軸于點，交于點，過點作軸交的延長線于點，則可得△AEK∽△DEF，繼而可得，先求出BC的解析式，繼而求得AK長，由可得，設點，進而可得，從而可得，再利用二次函數的性質即可求得答案；

（3）先確定出∠ACB=90°，再得出直線的表達式為．設點的坐標為，然后分點在直線右側，點在直線左側兩種情況分別進行討論即可．

（1）∵拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

∴，

∴，

∴拋物線的函數表達式為；

（2）過點作軸于點，交于點，過點作軸交的延長線于點．

則DG//AK，

∴△AEK∽△DEF，

∴，

設直線BC的解析式為y=kx+n，

將、代入則有：，

解得，

∴直線的表達式為，

當x=-1時，，

即K（-1，），

∴．

∵．

∴

設點，則F點坐標為（m，），

∴．

∴，

當時，有最大值．

（3）∵，，．

∴AC=，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=25=52=AB2，

∴∠ACB=90°，

∵過點作直線，直線的表達式為，

∴直線的表達式為．

設點的坐標為．

①當點在直線右側時，如圖，∠BPQ=90°，過點P作PN⊥x軸于點N，過點Q作QM⊥PN于點M，

∴∠M=∠PNB=90°，

∴∠BPN+∠PBN=90°，

∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，

∴∠QPM=∠PBN，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵NB=t-4，PN=，

∴，

∴QM=，PM=，

∴MN=+，，

∴點的坐標為．

將點的坐標為代入，得

，

解得：，t2=0（舍去），

此時點的坐標為．

②當點在直線左側時．如圖，∠BPQ=90°，過點P作PN⊥x軸于點N，過點Q作QM⊥PN于點M，

∴∠M=∠PNB=90°，

∴∠BPN+∠PBN=90°，

∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，

∴∠QPM=∠PBN，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵NB=4-t，PN=，

∴，

∴QM=，PM=，

∴MN=+，，

∴點的坐標為．

將點的坐標為代入，得

，

解得：，<0（舍去），

此時點的坐標為．