Question

【題目】如圖，在正方形中，點分別是邊上的兩點，且分別交于.下列結論：①；②平分；③；④．其中正確的結論是（ ）

A.②③④B.①④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

把△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADH，證明△AEF≌△AHF，利用全等三角形的性質可得①②正確；求出∠BAN＝∠AMD，根據∠ABN＝∠ADM＝45°，證明△ABN∽△MDA，利用相似三角形的性質可得④正確；求出∠AFE＝∠AMN，證明△AMN∽△AFE，利用相似三角形的性質可得③正確．

解：如圖，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADH，易得H、D、F三點共線，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE＋∠DAF＝45°，

∴∠DAH＋∠DAF＝45°，

∴∠EAF＝∠HAF，

∵AE＝AH，AF＝AF，

∴△AEF≌△AHF，

∴EF＝FH，∠AFH＝∠AFE，

∴EF＝FH＝DH＋DF＝BE＋DF，AF平分∠DFE，故①②正確；

∵∠BAN＝∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋45°，∠AMD＝∠ABM＋∠BAM＝45°＋∠BAM，

∴∠BAN＝∠AMD，

∵∠ABN＝∠ADM＝45°，

∴△ABN∽△MDA，

∴，

∵AD＝AB，

∴AB2＝BNDM，故④正確；

∵AB∥CD，

∴∠DFA＝∠BAN，

∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，

∴∠AFE＝∠AMN，

又∵∠MAN＝∠FAE，

∴△AMN∽△AFE，

∴，即AMAE＝ANAF，故③正確，

故選：D．