Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=．下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正確結論的序號是（ ）

A.①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤

Answer 1

【答案】D．

【解析】

試題解析：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠EAB=∠PAD，

又∵AE=AP，AB=AD，

∴△APD≌△AEB（故①正確）；

③∵△APD≌△AEB，

∴∠APD=∠AEB，

又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，

∴∠BEP=∠PAE=90°，

∴EB⊥ED（故③正確）；

②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，

∵AE=AP，∠EAP=90°，

∴∠AEP=∠APE=45°，

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

∴∠FEB=∠FBE=45°，

又∵BE=，

∴BF=EF=（故②不正確）；

④如圖，連接BD，在Rt△AEP中，

∵AE=AP=1，

∴EP=，

又∵PB=，

∴BE=，

∵△APD≌△AEB，

∴PD=BE=，

∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD-×DP×BE

=×（4+）-××

=+．（故④不正確）．

⑤∵EF=BF=，AE=1，

∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，

∴S正方形ABCD=AB2=4+（故⑤正確）；

故選D．