Question

【題目】如圖，邊長為6的正方形ABCD中，E，F分別是AD，AB上的點，AP⊥BE，P為垂足．

（1）如圖1，AF=BF，AE=，點T是射線PF上的一個動點，當△ABT為直角三角形時，求AT的長；

（2）如圖2，若AE=AF，連接CP，求證：CP⊥FP．

Answer 1

【答案】（1）當為直角三角形時，的長為3或或；（2）詳見解析

【解析】

（1）先根據AE和AB長求出∠ABE=30°，分三種情況：①當點在的上方，，②當點在的下方，，③當時，分別求出AT長即可；

（2）先證∠1=∠3，根據三角函數知識得到，再證，得到∠5=∠6，從而證明CP⊥FP.

解：（1）在正方形中，可得，

在中，，

∴

分三種情況：

①當點在的上方，，

顯然此時點和點重合，即；

②當點在的下方，，如圖①所示，

在中，由，可得：，

以為圓心長為直徑作圓，交射線于點，可知，

∵，是直徑，

∴，

∴四邊形是矩形，

∴，

在中，

，，

∴；

③當時，如圖②所示，

在中，，，，

在中：；

綜上所述：當為直角三角形時，的長為3或或；

（2）如圖③所示，

在正方形中，可得，，，

∴，

在中，，易知，，

∴，

∴，

∵，，

在和中可得，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∴．