Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動點，且AE=BF=CG=DH．則四邊形EFGH面積的最小值是________cm2．

Answer 1

【答案】32

【解析】分析：根據正方形的性質結合已知可推出：△EAH≌△FBE≌△GCF≌△HDG，結合全等三角形的性質得到四邊形EFGH是菱形；根據角度間關系容易得出∠HEF=90°，進而得到四邊形EFGH是正方形，設AE=DH=x，則AH=8-x，在Rt△AEH中利用勾股定理可得：EH2=AE2+AH2，結合二次函數的最值解答即可.

詳解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA.

∵AE=BF=CG=DH，

∴BE=CF=AH=DG，

∴△EAH≌△FBE≌△GCF≌△HDG，

∴EH=EF=FG=HG，∠AEH=∠BFE，

∴四邊形EFGH是菱形.

∵∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE，

∴∠BEF+∠AEH=90°，

∴∠HEF=90°.

∵四邊形EFGH是菱形，∠HEF=90°，

∴四邊形EFGH是正方形.

正方形EFGH的面積最小，則邊長EF最小.

設AE=DH=x，則AH=8-x，

∵在Rt△AEH中，EH2=AE2+AH2=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32，

∴四邊形EFGH面積的最小值為32cm2.