Question

【題目】定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“準菱形”．利用該定義完成以下各題：

(1) 理解

填空：如圖1，在四邊形ABCD中，若　　　　　（填一種情況），則四邊形ABCD是“準菱形”；

（2）應用

證明：對角線相等且互相平分的“準菱形”是正方形；（請畫出圖形，寫出已知，求證并證明）

(3) 拓展

如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BP方向平移得到△DEF，連接AD，BF，若平移后的四邊形ABFD是“準菱形”，求線段BE的長.

Answer 1

【答案】(1)答案不唯一，如AB＝BC.（2）見解析;(3) BE=2或或或.

【解析】整體分析：

(1)根據“準菱形”的定義解答，答案不唯一；(2)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，矩形的鄰邊相等時即是正方形；(3)根據平移的性質和“準菱形”的定義，分四種情況畫出圖形，結合勾股定理求解.

解：(1)答案不唯一，如AB＝BC.

(2)已知：四邊形ABCD是“準菱形”，AB=BC，對角線AC，BO交于點O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD.

求證：四邊形ABCD是正方形.

證明：∵OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵AC=BD，

∴平行四邊形ABCD是矩形.

∵四邊形ABCD是“準菱形”，AB=BC，

∴四邊形ABCD是正方形.

(3)由平移得BE=AD，DE=AB＝2，EF=BC＝1，DF=AC＝.

由“準菱形”的定義有四種情況：

①如圖1，當AD＝AB時，BE＝AD＝AB＝2.

②如圖2，當AD＝DF時，BE＝AD＝DF＝.

③如圖3，當BF＝DF＝時，延長FE交AB于點H，則FH⊥AB.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°.

∴∠BEH＝∠ABE＝45°.∴BE＝BH.

設EH＝BH＝x，則FH＝x＋1，BE＝x.

∵在Rt△BFH中，BH2＋FH2＝BF2，

∴x2＋(x＋1)2＝()2，

解得x1＝1，x2＝－2(不合題意，舍去)，

∴BE＝x＝.

④如圖4，當BF＝AB＝2時，與③)同理得：BH2＋FH2＝BF2.

設EH＝BH＝x，則x2＋(x＋1)2＝22，

解得x1＝，x2＝ (不合題意，舍去)，

∴BE＝x＝.

綜上所述，BE=2或或或.