Question

【題目】如圖,AD是Rt△ABC斜邊BC上的高.

（1）尺規(guī)作圖:作∠C的平分線,交AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F（不寫作法,必須保留作圖痕跡,標(biāo)上應(yīng)有的字母）;

（2）在（1）的條件下,過F畫BC的平行線交AC于點(diǎn)H,線段FH與線段CH的數(shù)量關(guān)系如何?請予以證明;

（3）在（2）的條件下,連結(jié)DEDH.求證:ED⊥HD.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】分析：

（1）按作角的平分線的尺規(guī)作圖方法作出相應(yīng)的圖形，并標(biāo)上相應(yīng)的字母即可；

（2）如圖2，由已知條件易得∠1=∠2，∠1=∠3，從而可得∠2=∠3，由此即可得到FH=CH；

（3）如圖3，由已知條件易證∠4=∠5，從而可得AE=AF，由FH∥CD可得△AFH∽△ADC，由此可得結(jié)合FH=CH，AE=AF可得，再證∠EAD=∠HCD，即可得到△EAD∽△HCD，從而可得∠7=∠8，結(jié)合AD⊥BC即可得到∠EDH=90°，由此即可得到DE⊥DH.

詳解：

（1）如下圖1所示，線段CE為所求的△ABC的角平分線；

（2）FH=CH，理由如下：

如圖2，∵FH∥BC，

∴∠1=∠3，

∵CE平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴FH=CH（等角對等邊）；

（3）如圖3，∵EA⊥CA，

∴∠EAC=90°，

∴∠2+∠5=90°，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

∴∠1+∠6=90°，

∴∠2+∠5=∠1+∠6，

又∵∠1=∠2，

∴∠5=∠6，

∵∠6=∠4，

∴∠5=∠4，

∴AE=AF（等角對等邊），

∵FH∥BC，

∴AFH∽△ADC，

∴=，

∵FH=CH，

∴得=，

∵∠EAD+∠DAC=90°，∠HCD+∠DAC=90°，

∴∠EAD=∠HCD，

∴△EAD∽△HCD（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似），

∴∠7=∠8，

∵∠8+∠HDA=90°，

∴∠7+∠HDA=90°，即∠EDH=90°，

∴ED⊥HD