Question

【題目】一個問題解決往往經歷發現猜想——探索歸納——問題解決的過程，下面結合一道幾何題來體驗一下.

（發現猜想）（1）如圖①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC為∠BOD的角平分線，則∠AOC的度數為 ；.

（探索歸納）（2）如圖①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC為∠BOD的角平分線. 猜想∠AOC的度數（用含m、n的代數式表示），并說明理由.

（問題解決）（3）如圖②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射線OB繞點O以每秒20°逆時針旋轉，射線OC繞點O以每秒10°順時針旋轉，射線OD繞點O每秒30°順時針旋轉，三條射線同時旋轉，當一條射線與直線OA重合時，三條射線同時停止運動. 運動幾秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？

Answer 1

【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝；理由見解析；（3）經過，，4秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.

【解析】

（1）根據∠AOD、∠AOB、∠BOD之間的關系，求出∠BOD的度數，然后根據角平分線的性質算出∠BOC的度數，再計算∠AOC即可解決問題.

（2）根據∠AOD、∠AOB、∠BOD之間的關系，用m、n表示出∠BOD的度數，然后根據角平分線的性質用m、n的代數式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解決問題.

（3）根據各角之間存在的數量關系，設經過x秒時，分別用x將∠DOA、∠COA、∠BOA表示出來，然后分四類情況討論，根據角平分線的性質列出方程，解決即可.

（1）85°；

（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n

∴∠BOD＝n－m

∵OC為∠BOD的角平分線

∴∠BOC＝

∴∠AOC＝+m＝

（3）設經過的時間為x秒，

則∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；

①當在x＝之前，OC為OB，OD的角平分線；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；

②當x在和2之間，OD為OC，OB的角平分線；－30+20x＝100－50x，x2＝；

③當x在2和之間，OB為OC，OD的角平分線；70－30x＝－100+50x，x3＝；

④當x在和4之間，OC為OB，OD的角平分線；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.

答：經過，，4秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.