Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，動點P從點C出發，沿CA方向運動，速度是2cm/s，動點Q從點B出發，沿BC方向運動，速度是1cm/s．

（1）幾秒后P、Q兩點相距25cm？
（2）幾秒后△PCQ與△ABC相似？
（3）設△CPQ的面積為S1 ， △ABC的面積為S2 ， 在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x秒后P、Q兩點相距25cm，

則CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由題意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

則10秒后P、Q兩點相距25cm；

（2）解：設y秒后△PCQ與△ABC相似，

當△PCQ∽△ACB時， = ，即 = ，

解得，y= ，

當△PCQ∽△BCA時， = ，即 = ，

解得，y= ，

故 秒或 秒后△PCQ與△ABC相似；

（3）解：△CPQ的面積為S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面積為S2= ×AC×BC=375，

由題意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故運動10秒或15秒時，S1：S2=2：5．

【解析】（1）設時間為x秒，由路程=速度×時間，易得CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，再利用勾股定理列方程求得10秒后P、Q兩點相距25cm。
（2）本題由于沒有直接說明對應頂點，所以一定要考慮兩種情況，再由相似三角形對應邊的比相等，可得若當△PCQ∽△ACB時或者當△PCQ∽△BCA時對應邊的比相等，可計算出故 秒或 秒后△PCQ與△ABC相似兩種情況；
（3）由（1）中CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，根據三角形面積公式可得△CPQ的面積為S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面積為S2= ×AC×BC=375，又S1：S2=2：5解得運動10秒或15秒時，S1：S2=2：5。

【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．