Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過B（3，0），C（0，-3）兩點，點D為頂點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）點E在拋物線的對稱軸上，F在BD上，求BE+EF的最小值；

（3）點P是拋物線第四象限的點（不與B、C重合），連接PB，以PB為邊作正方形BPMN，當點M或N恰好落在對稱軸上時，求出對應的P點的坐標（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】（1），D（1，-4）；（2）；（3）或

【解析】

（1）把B、C點的坐標代入拋物線方程，利用待定系數法，可以把方程中的未知數求解出來，從而得到拋物線的表達式，把解析式整理成頂點式，即可得到頂點D的坐標；

（2）利用對稱軸的性質，知道AE=BE，從而把BE+EF的長度轉換成AF的長度，求出BE+EF的最小值；

（3）利用全等三角形的性質，根據已知線段可求得相應坐標.

解：（1）把B、C點的坐標代入拋物線方程得到：

解得

∴表達式為，

又∵，

所以頂點的坐標為D（1，-4），

（2）如圖1，連接BD，過A作AF⊥BD于F，交對稱軸于點E，

圖1

∵E點在拋物線的對稱軸上

∴AE=BE

則BE+EF=AE+EF=AF

又因為兩點之間垂線段最短

所以所做的AF為所求的最小值

由三角形的面積公式可以得到 (h是三角形ABD以AB為邊的高)

又由題意可知，，

所以，

因此：，

∴BE+EF的最小值為.

（3）當點N在對稱軸上時，如圖2，過點P作PF⊥OB于點F，

圖2

∵四邊形PBNM是正方形 ， ∴，

又∵，∴，

在和中

∵

∴(AAS)，

∴ ，

設點P的坐標為（），則，整理得

解得：，（舍去）

∴

當點M在對稱軸上時，如圖3，過點P作PG⊥OB于點G，過點P作PF⊥MD于點F，

同理可證：，∴

圖3

設，代入得，

解得：，（舍去）

當時，，

綜上所述：對應的P點的坐標有或