Question

【題目】如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結論：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④連接CP，CP平分∠ACB，其中正確的是（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】根據三角形內角和定理以及角平分線定義判斷①；根據全等三角形的判定和性質判斷②③；根據角平分線的判定與性質判斷④．

在△ABC中，∵∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°，

又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，

∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，

∴∠APB=135°，故①正確．

∴∠BPD=45°，

又∵PF⊥AD，

∴∠FPB=90°+45°=135°，

∴∠APB=∠FPB，

又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，

∴△ABP≌△FBP，

∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正確．

在△APH和△FPD中，

∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，

∴△APH≌△FPD，

∴PH=PD，故③正確．

∵△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，

∴點P到AB、AC的距離相等，點P到AB、BC的距離相等，

∴點P到BC、AC的距離相等，

∴點P在∠ACB的平分線上，

∴CP平分∠ACB，故④正確．

故選：D．