Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+4交坐標軸于A、B兩點，過點C（﹣4，0）作CD⊥AB于D，交y軸于點E．

（1）求證：△COE≌△BOA；

（2）如圖2，點M是線段CE上一動點（不與點C、E重合），ON⊥OM交AB于點N，連接MN．

①判斷△OMN的形狀．并證明；

②當△OCM和△OAN面積相等時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）①△MON是等腰直角三角形；②點N的坐標為（1.5，2）.

【解析】

（1）代入解析式后得出OB，OA的長，再利用全等三角形的判定證明即可；
（2）①根據全等三角形的判定和性質得出OM=ON，再利用等腰直角三角形的判定解答即可；
②根據全等三角形的性質和三角形面積公式解答即可．

解：（1）把x=0代入y=﹣x+4，

解得：y=4，

∴OB=4，

把y=0代入y=﹣x+4，解得：x=3，

∴OA=3，

∵C（﹣4，0），

∴OC=4，

∴OB=OC，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∵∠ACD+∠OEC=90°，

∴∠CAD=∠OEC，

在△COE與△BOA中

，

∴△COE≌△BOA（AAS）；

（2）①∵ON⊥OM，

∴∠MON=90°，

∴∠COM+∠AON=90°，

∵∠AON+∠BON=90°，

∴∠COM=∠BON，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCM=∠OBN，

在△COM與△BON中

，

∴△COM≌△BON（ASA），

∴OM=ON，∠COM=∠BON，

∵∠COM+∠MOE=90°，

∴∠BON+∠MOE=90°，

即∠MON=90°，

∴△MON是等腰直角三角形；

②∵△COM≌△BON，△OCM與△OAN面積相等，

∴△BON與△OAN面積相等，

即△OAN面積是△AOB面積的一半，

，

解得： =2，

把y=2代入y=﹣x+4，

解得：x=1.5，

∴點N的坐標為（1.5，2）.