Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A(﹣1，0)、點B(3，0)、點C(4，y1)，若點D(x2，y2)是拋物線上任意一點，有下列結論：

①二次函數y＝ax2+bx+c的最小值為﹣4a；

②若﹣1≤x2≤4，則0≤y2≤5a；

③若y2＞y1，則x2＞4；

④一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩個根為﹣1和

其中正確結論的是_____（填序號）．

Answer 1

【答案】①④

【解析】

利用交點式寫出拋物線解析式為y＝ax2﹣2ax﹣3a，配成頂點式得y＝a（x﹣1）2﹣4a，則可對①進行判斷；計算x＝4時，y＝a51＝5a，則根據二次函數的性質可對②進行判斷；利用對稱性和二次函數的性質可對③進行判斷；由于b＝﹣2a，c＝﹣3a，則方程cx2+bx+a＝0化為﹣3ax2﹣2ax+a＝0，然后解方程可對④進行判斷．

解：∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0）、點B（3，0），

∴拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），

即y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，

∴當x＝1時，二次函數有最小值﹣4a，所以①正確；

當x＝4時，y＝a51＝5a，

∴當﹣1≤x2≤4，則﹣4a≤y2≤5a，所以②錯誤；

∵點C（4，5a）關于直線x＝1的對稱點為（﹣2，5a），

∴當y2＞y1，則x2＞4或x＜﹣2，所以③錯誤；

∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∴方程cx2+bx+a＝0化為﹣3ax2﹣2ax+a＝0，

整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正確．

故答案為①④．