Question

【題目】如圖所示，拋物線與軸交于兩點，，與軸交于，并且對稱軸．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在軸上方的拋物線上，過的直線與直線交于點，與軸交于點，求的最大值；

（3）點為拋物線對稱軸上一點，當是以為直角邊的直角三角形時，求點坐標；

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值為；（3）點的坐標為或．

【解析】

（1）利用待定系數法求解可得；

（2）先求AC解析式，作PH∥y軸交AC于H，作PG⊥y軸，設出P的坐標，，由MN的解析式的特點判斷，利用三角函數把PM，PN的長度轉化到PH，PG的上，利用及二次函數的性質進一步求解可得；

（3）設D（-3，y），利用兩點間的距離公式得到 ，然后分類：當△ACD是以AC為直角邊、CD為斜邊和以AC為直角邊、AD為斜邊的直角三角形時，分別解方程求出y即可得到對應的D點坐標；

解：（1）∵拋物線過，對稱軸為直線，∴點坐標為，

可設拋物線解析式為，將點代入，得：，

解得，則拋物線解析式為；

（2）設點坐標為，

∴直線解析式為，

過點作軸交于，作軸于，

的解析式為，

，

，

，

的最大值為；

（3）①設，

則，

當是以為直角邊、為斜邊的直角三角形時，

，即，

解得，此時；

當是以為直角邊、為斜邊的直角三角形時，

，即，

解得，此時點；

綜上，點的坐標為或．