Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為的中點，作DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F，連結AD．

（1）求證：EF為半圓O的切線．

（2）若AO＝BF＝2，求陰影區域的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，利用垂徑定理可證得OD⊥CB，利用圓周角定理可得到AC⊥BC ，結合已知條件可證得OD⊥DE，然后利用切線的判定定理可證得結論．

（2）連接CD，OC，由已知條件AO＝BF＝2，可證得△COD和△AOC是等邊三角形，利用等邊三角形的性質，去證明∠ECA＝30°，利用解直角三角形分別求出AE，DE的長，據此可求出△AED的面積，再證明S△ACD＝S△OCD，然后根據S陰影部分＝S△AED－S扇形COD，利用扇形的面積公式進行計算可求解．

（1）證明：連接OD，

∵點D是弧BC的中點，

∴OD⊥CB，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°即AC⊥BC

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE

∵OD是半徑，

∴EF是圓OD的切線；

（2）連接CD，OC，

∵OD⊥EF

∴∠ODF＝90°

∵OD＝OB＝BF＝2，

∴OF＝2OD

∴∠F＝30°，∠DOF＝60°

∵ D為的中點

∴∠DOF＝∠COD＝60°，

∴△COD是等邊三角形，△AOC是等邊三角形，

∴∠ECA＝∠COD＝30°，

在Rt△AEF中，AF＝2OB＋BF＝2×2＋2＝6

∴AE＝AF＝3，

DE＝AEtan∠EAD＝3tan30°＝

∵∠CDO＝∠DOF＝60°，

∴CD∥AB

∴S△ACD＝S△OCD，

S陰影部分＝S△AED－S扇形COD＝．