Question

【題目】菱形ABCD中，∠B=60°，點E,F分別是BC,CD上的兩個動點，且始終保持∠AEF=60°.

（1）試判斷△AEF的形狀并說明理由；

（2）若菱形的邊長為2,求△ECF周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）△AEF是等邊三角形，理由詳見解析；（2）2+

【解析】

（1）先根據四邊形ABCD是菱形判斷出△ABC的形狀，再由ASA定理得出△AGE≌△ECF，故可得出AE＝AF，由此可得出結論；
（2）根據垂線段最短可知當AE⊥BC時△ECF周長最小，由直角三角形的性質求出AE的長，故可得出結論．

解：（1）△AEF是等邊三角形，理由是：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC

∵∠B＝60°．

∴△ABC是等邊三角形，

在AB上截取BG=BE，則△BGE是等邊三角形

∴AG=AB-BG=BC-BE=EC，

∵∠AEC＝∠BAE＋∠B＝∠AEF+∠FEC，又因為∠B=∠AEF=60°

∴∠BAE＝∠CEF．

在△AGE與△ECF中，

∠AGE＝∠ECF=120°，AG=EC,∠GAE=∠CEF

∴△AGE≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF．

∵∠AEF＝60°，

∴△AEF是等邊三角形．

（2）由（1）知△AEF是等邊三角形，△AGE≌△ECF

所以CF=GE=BE,CF+EC=BC=定值=2

∵垂線段最短，

∴當AE⊥BC時，AE=EF最小，此時△ECF周長最小、

∵BC＝2，∠B＝60°，

∴AE＝，

△ECF周長的最小值＝2+.