Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，頂點B的坐標為（n，2），點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BAD沿BD翻折，點A剛好落在BC邊上的F處，BD、EF交于點P

（1）直接寫出點E、F的坐標；

（2）若OD=1，求P點的坐標；

（3）動點Q從P點出發，依次經過F，y軸上的點M，x軸上的點N，然后返回到P點：

①若要使Q點運動一周的路徑最短，試確定M、N的位置；

②若n=3，求最短路徑的四邊形PFMN的周長．

Answer 1

【答案】（1）E（n，1）；F（n-2，2）；（2）點P坐標為（，）；（3）①見解析，②+．

【解析】

（1）由翻折知四邊形ABFD是正方形，據此得DF=AB=AD=2、OD=CF=BC-BF=n-2，即可得出點F坐標，由E為AB中點可得點E的坐標；

（2）OD=1知n=3，據此得出點B、D、E、F的坐標，分別求得直線BD和直線EF的解析式，聯立方程組即可求得BD與EF的交點P的坐標；

（3）①作點F關于y軸的對稱點F′、作點P關于x軸的對稱點P′，連接F′P′交y軸于點M、交x軸于點N；

②由n=3結合（2）知點P、F及其關于坐標軸的對稱點，利用勾股定理求解可得．

（1）∵B（n，2），

∴AB=OC=2、OA=BC=n，

由翻折知△DAB≌△DFB，

∴∠DAB=∠DFB=90°、BA=BF=2，

∵∠ABF=90°，

∴四邊形ABFD是正方形，

∴DF=AB=AD=2，

∴OD=CF=BC-BF=n-2，

則F（n-2，2），

∵E為AB中點，

∴AE=BE=1，

∴E（n，1）；

（2）若OD=1，則n-2=1，即n=3，

∴B（3，2）、D（1，0）、E（3，1）、F（1，2），

設BD所在直線解析式為y=kx+b，

將點B（3，2）、D（1，0）代入，得：

，

解得：，

∴BD所在直線解析式為y=x-1；

設EF所在直線解析式為y=mx+n，

將E（3，1）、F（1，2）代入，得：，

解得：，

∴EF所在直線解析式為y=-x+；

由可得，

所以點P坐標為（，）；

（3）①如圖所示，作點F關于y軸的對稱點F′、作點P關于x軸的對稱點P′，連接F′P′交y軸于點M、交x軸于點N，

②若n=3，由（2）知P（，）、F（1，2），

則F′（-1，2）、P′（，-），

∴PF=＝，P′F′=＝，

∴C四邊形PFMN=+．