Question

【題目】你知道古代數學家怎樣解一元二次方程嗎？以x2﹣2x﹣3=0為例，大致過程如下：第一步：將原方程變形為x2﹣2x=3，即x（x﹣2）=3．

第二步：構造一個長為x，寬為（x﹣2）的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖所示．

第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖所示．

第四步：計算大正方形面積用x表示為　　 　　．長方形面積為常數　　 ．小正方形面積為常數　　 ．

由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程　　 　，兩邊開方可求得：x1=3，x2=﹣1．

（1）第四步中橫線上應填入　　 　　；　　 　　；　　 　　；　　 　　．

（2）請參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程x2﹣x﹣1=0．

Answer 1

【答案】（1）； 3 ； 4 ；．（2）答案見解析.

【解析】

（1）根據題意先表示出大正方形的邊長再根據正方形的面積公式即可得出大正方形面積；

根據題意先得出小正方形的邊長，再根據大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，即可得出答案；

（2）先將原方程變形，構造出一個長為x，寬為（x-1）的長方形，長比寬大1，且面積為1，再用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，然后根據大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得出一個方程，兩邊開方，即可求出方程的解．

（1）∵大正方形的邊長是[x+（x-2）]，

∴大正方形面積是：[x+（x-2）]2=（2x-2）2；

∵小正方形的邊長是：[x+（x-2）]-2（x-2）=2，長方形的面積為3，

又∵大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，

∴（2x-2）2=4×3+22=16；

第四步中橫線上應填入； 3 ； 4 ；．

（2）解：第一步：將原方程變形為x2﹣x=1，即x（x﹣1）=1．

第二步：構造一個長為x，寬為（x﹣1）的長方形，長比寬大1，且面積為1．

第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形．

第四步：計算大正方形面積用x表示為[x+（x-1）]2．

由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程[x+（x﹣1）]2=4×1+12，兩邊開方可求得：x1=，x2=．