Question

【題目】如圖，在等邊△ABC 內有一點D，AD=5，BD=6，CD=4，將線段AD繞點A旋轉到AE，使∠DAE=∠BAC，連接EC．

（1）求CE的長；

（2）求cos∠CDE的值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）

【解析】試題分析：(1)先根據等邊三角形的性質得AB=AC，∠BAC=60°，再根據旋轉的性質得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

(2)判斷△ADE為等邊三角形,得到DE=AD=5過E點作EH⊥CD于H,如圖,設DH=x，則CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，計算得出 ，然后根據余弦的定義求解.

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△ABD繞A點逆時針旋轉得△ACE，

∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

（2）∵AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

∴△ADE為等邊三角形，

∴DE=AD=5，

過E點作EH⊥CD于H，如圖，設DH=x，則CH=4﹣x，

在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，

在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，

∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，

∴DH=，

在Rt△EDH中，cos∠HDE=，

即∠CDE的余弦值為．