Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，點D在射線BC上，以點D為圓心，BD為半徑畫弧交邊AB于點E，過點E作EF⊥AB交邊AC于點F，射線ED交射線AC于點G．

（1）求證：△EFG∽△AEG；

（2）設FG=x，△EFG的面積為y，求y關于x的函數解析式并寫出定義域；

（3）聯結DF，當△EFD是等腰三角形時，請直接寫出FG的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）當△EFD為等腰三角形時，FG的長度是： ．

【解析】試題分析：（1）由等邊對等角得∠B=∠BED，由同角的余角相等可得∠A=∠GEF，進而由兩角分別相等的兩個三角形相似，可證△EFG∽△AEG；

（2）作EH⊥AF于點H，由tanA=及△EFG∽△AEG，得AG=4x，AF=3x，EH= ，

可得y關于x的解析式；

（3）△EFD是等腰三角形，分三種情況討論：①EF=ED；②ED=FD；③ED=EF三種情況討論即可.

試題解析：（1）∵ ED=BD，

∴ ∠B=∠BED．

∵ ∠ACB=90°，

∴ ∠B+∠A=90°．

∵ EF⊥AB，

∴ ∠BEF=90°．

∴ ∠BED+∠GEF=90°．

∴ ∠A=∠GEF．

∵ ∠G是公共角，

∴ △EFG∽△AEG；

（2）作EH⊥AF于點H．

∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，

∴tanA==，

∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA==,

∵ △EFG∽△AEG，

∴,

∵ FG=x，

∴ EG=2x，AG=4x．

∴ AF=3x．

∵ EH⊥AF，

∴ ∠AHE=∠EHF=90°．

∴ ∠EFA+∠FEH=90°．

∵ ∠AEF=90°，

∴ ∠A+∠EFA=90°,

∴ ∠A=∠FEH,

∴ tanA =tan∠FEH,

∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH==,

∴ EH=2HF,

∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA==，

∴ AH=2EH，

∴ AH=4HF，

∴ AF=5HF，

∴ HF= ，

∴EH= ，

∴y=FG·EH=x·=定義域：（0<x≤）；

（3）當△EFD為等腰三角形時，

①當ED=EF時，則有∠EDF=∠EFD，

∵∠BED=∠EFH，

∴∠BEH=∠AHG，

∵∠ACB=∠AEH=90°，

∴∠CEF=∠HEF，即EF為∠GEH的平分線，

則ED=EF=x，DG=8x，

∵anA=，

∴x=3，即BE=3；

②若FE=FD, 此時FG的長度是;

③若DE=DF, 此時FG的長度是.