Question

【題目】是⊙O直徑，在的異側(cè)分別有定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，點(diǎn)在半圓弧 上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），過(guò)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于，已知，∶＝∶．

（1）求證：·＝·；

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到弧的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最大面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）CD=；（3）當(dāng)PC為⊙O直徑時(shí)，△PCD的最大面積=.

【解析】

（1）由圓周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°，可證△ABC∽△PCD，可得,即可得證。

（2）由題意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求PE的長(zhǎng)，即可得PC的長(zhǎng)，由ACCD=PCBC可求CD的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，由（1）可得：，可得，當(dāng)PC最大時(shí)，△PCD的面積最大，而PC為直徑時(shí)最大，故可求解．

證明：（1）

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°

∵PC⊥CD，

∴∠PCD=90°

∴∠PCD=∠ACB，且∠CAB=∠CPB

∴△ABC∽△PCD

∴

∴ACCD=PCBC

（2）∵AB=5，BC：CA=4：3，∠ACB=90°

∴BC=4，AC=3，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E

∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，

∴∠PCB=45°，且BC=4

∴CE=BE=BC=2

∵∠CAB=∠CPB

∴tan∠CAB==tan∠CAB=

∴PE=

∴PC=PE+CE=+2=

∵ACCD=PCBC

∴3×CD=×4

∴CD=

（3）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S△PCD=×PC×CD，

由（1）可得：CD=PC

∴S△PCD==PC2，

∴當(dāng)PC最大時(shí)，△PCD的面積最大，

∴當(dāng)PC為⊙O直徑時(shí)，△PCD的最大面積=×52=