Question

【題目】我們規定，以二次函數y=ax2+bx+c的二次項系數a的2倍為一次項系數，一次項系數b為常數項構造的一次函數y=2ax+b叫做二次函數y=ax2+bx+c的“子函數”，反過來，二次函數y=ax2+bx+c叫做一次函數y=2ax+b的“母函數”．

（1）若一次函數y=2x-4是二次函數y=ax2+bx+c的“子函數”，且二次函數經過點（3，0），求此二次函數的解析式及頂點坐標．

（2）若“子函數”y=x-6的“母函數”的最小值為1，求“母函數”的函數表達式．

（3）已知二次函數y=-x2-4x+8的“子函數”圖象直線l與x軸、y軸交于C、D兩點，動點P為二次函數y=-x2-4x+8對稱軸右側上的動點，求△PCD的面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ，拋物線的頂點坐標為； (2) “母函數”的函數表達式為；(3)當時，最大，最大值為．

【解析】

(1)根據二次函數y=ax2+bx+c的“子函數”的定義，可知a=1，b=-4，再把點（3，0）代入解析式即可解決問題．
（2）“子函數”的“母函數”為．利用最小值為1即可求出C的值．
（3）得直線的表達式為，可求C,D坐標,再根據可解決問題．

(1)由題意得，，

∴拋物線的解析式為，把點代入可得，

∴拋物線的解析式為．

∵，

∴拋物線的頂點坐標為．

(2)“子函數”的“母函數”為．

∵，

∴，

∴，

∴“母函數”的函數表達式為．

(3)如圖，連接，設點的坐標為．

由題意得直線的表達式為，

∴，，

∴

，

∴當時，最大，最大值為．