Question

【題目】如圖，直線PC交⊙O于A，C兩點，AB是⊙O的直徑，AD平分∠PAB交⊙O于點D，過D作DE垂直PA，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AE=1，AC=4，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6.

【解析】分析：

（1）如下圖，連接OD，由已知條件易得∠DAE=∠DAO，∠DAO=∠ADO，∠DAE+∠ADE=90°，由此可得∠ADO+∠ADE=90°=∠ODE，從而可得DE是⊙O的切線；

（2）如下圖，過點O作OF⊥AC于點F，則易得AF=AC=2，四邊形OFED是矩形，從而可得OD=EF=AE+AF=1+2=3，由此可得AB=2OD=6.

詳解：

（1）如下圖，連接OD，

∵AD平分∠PAB，

∴∠PAD=∠OAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠PAD=∠ODA，

∵DE⊥PA，

∴∠DEA=∠EAD+∠EDA=90°，

∴∠ODA+∠EDA=90°，

∴DE是⊙O的切線

（2）作OF⊥AC，

∴AF=CF=2，∠OFE=90°，

又∵∠DEA=∠ODE=90°，

∴四邊形OFED為矩形，

∴OD=EF=AE+AF=3，

∴AB=2OD=6.