Question

【題目】問題背景：如圖，將繞點逆時針旋轉60°得到，與交于點，可推出結論：

問題解決：如圖，在中，，，．點是內一點，則點到三個頂點的距離和的最小值是___________

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，將△MOG繞點M逆時針旋轉60°，得到△MPQ，易知△MOP為等邊三角形，繼而得到點O到三頂點的距離為：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以發現當點N、O、P、Q在同一條直線上時，有ON＋OM＋OG最小，此時，∠NMQ＝75°+60°＝135°，過Q作QA⊥NM交NM的延長線于A，利用勾股定理進行求解即可得.

如圖，將△MOG繞點M逆時針旋轉60°，得到△MPQ，

顯然△MOP為等邊三角形，

∴，OM＋OG＝OP＋PQ，

∴點O到三頂點的距離為：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，

∴當點N、O、P、Q在同一條直線上時，有ON＋OM＋OG最小，

此時，∠NMQ＝75°+60°＝135°，

過Q作QA⊥NM交NM的延長線于A，則∠MAQ=90°，

∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，

∵MQ＝MG＝4，

∴AQ＝AM＝MQcos45°=4，

∴NQ＝，

故答案為：.