Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△A1B1C1，當C，B1，C1三點共線時，旋轉角為α，連接BB1，交于AC于點D，下面結論：

①△AC1C為等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤＝中，正確的結論的序號為______．

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

首先根據旋轉的性質得出AC1＝AC，從而結論①可判斷；再通過三角形內角和定理及旋轉角的計算對②③作出判斷；通過∠AB1D＝∠ACB1=30°，∠B1AD＝∠CA B1，，判定△AB1D∽△ACB1；通過證明△ABD∽△B1CD，利用相似三角形的性質列式計算對⑤作出判斷．

由旋轉的性質可知：AC1＝AC，

∴△AC1C為等腰三角形，即①正確；

∵∠ACB＝30°，

∴∠C1＝∠ACB1＝30°，

又∵B1AC1＝∠BAC＝45°，

∴∠AB1C＝75°，

∴∠CAB1＝180°﹣75°﹣30°＝75°，

∴CA＝CB1；即②正確；

∵∠CAC1＝∠CAB1+∠B1AC1＝120°，

∴旋轉角α＝120°，故③錯誤；

∵∠BAC＝45°，

∴∠BAB1＝45°+75°＝120°，

∵AB＝AB1，

∴∠AB1B＝∠ABD＝30°，

在△AB1D與△ACB1中，

∵∠AB1D＝∠ACB1=30°，∠B1AD＝∠CA B1，

∴△AB1D∽△ACB1，即④正確；

在△ABD與△B1CD中，

∵∠ABD＝∠ACB1，∠ADB＝∠CDB1，

∴△ABD∽△B1CD，

∴＝，

∴∠DB1C=∠DAB=45°，

過點D作DM⊥B1C，

設DM＝x，則B1M＝x，B1D＝x，DC＝2x， CM＝x，

∴AC＝B1C＝（+1）x，

∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）x，

∴＝＝＝，即⑤正確．

故答案為：①②④⑤．