Question

【題目】對某一個函數給出如下定義：對于函數y，若當，函數值y滿足，且滿足，則稱此函數為“k屬和合函數”

例如：正比例函數，當時，，則，求得：，所以函數為“3屬和合函數”.

（1）①一次函數為“k屬和合函數”，則k的值為______，

②若一次函數為“1屬和合函數”，求a的值；

（2）反比例函數（，且）是“k屬和合函數”，且，請求出的值；

（3）已知二次函數，當時，y是“k屬和合函數”，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①2；②；（2）2018；（3）若a＞1時，；若0＜a≤1時，；若﹣1＜a≤0時，；若a＜﹣1時，.

【解析】

（1）①根據“k屬和合函數”的定義即可求出k的值；

②根據a的取值范圍分類討論，然后再根據“1屬和合函數”的定義分別求a的值即可；

（2）根據反比例函數的增減性，求出y的取值范圍，然后根據“k屬和合函數”的定義即可求出ab的值，然后利用完全平方公式的變形即可求出的值；

（3）根據對稱軸與x的取值范圍的相對位置分類討論：（i）若a＞1時，即在對稱軸左側，根據二次函數的增減性求出y的取值范圍，然后根據“k屬和合函數”的定義即可求出k與a的關系，根據a的取值求出k的取值即可；（ii）若0＜a≤1時，即含對稱軸，且x=﹣1離對稱軸最遠，原理同上；（iii）若﹣1＜a≤0時，即含對稱軸，且x=1離對稱軸最遠，原理同上；（iiii）若a＜﹣1時，即在對稱軸右側，原理同上.

解：（1）①∵一次函數當時，

根據“k屬和合函數”的定義：，

解得：k=2；

②當a＞0時，

∵當時，，

根據“1屬和合函數”的定義：，

解得：；

當a＜0時，

∵當時，，

根據“1屬和合函數”的定義：，

解得：，

綜上所述：；

（2）∵（，且），

∴當時，y隨x的增大而減小，

∴，

根據“k屬和合函數”的定義：，

解得：，

∵，

∴；

（3）二次函數的對稱軸為：，

（i）若a＞1時，即在對稱軸左側，如下圖所示：

不難發現，當x=1時，y最大值為：，

當x=﹣1時，y最小值為：，

根據“k屬和合函數”的定義：，

解得：，

∵a＞1，

∴；

（ii）若0＜a≤1時，即含對稱軸，且x=﹣1離對稱軸最遠，如下圖所示：

不難發現：當x=a時，y最大值為：，

當x=﹣1時，y最小值為：，

根據“k屬和合函數”的定義：，

解得：，此函數的對稱軸為：a=﹣1，開口向上，

∴0＜a≤1在對稱軸的右側，k隨a的增大而增大，

∴當0＜a≤1時，解得：；

（iii）若﹣1＜a≤0時，即含對稱軸，且x=1離對稱軸最遠，如下圖所示：

不難發現：當x=a時，y最大值為：，

當x=1時，y最小值為：，

根據“k屬和合函數”的定義：

解得：，此函數的對稱軸為：a=1，開口向上，

∴﹣1＜a≤0在對稱軸的左側，k隨a的增大而減小

∴當﹣1＜a≤0時，解得：；

（iiii）若a＜﹣1時，即在對稱軸右側，如下圖所示：

不難發現，當x=1時，y最小值為：，

當x=﹣1時，y最大值為：，

根據“k屬和合函數”的定義：

解得：

∵a＜﹣1，

∴；

綜上所述：若a＞1時，；若0＜a≤1時，；若﹣1＜a≤0時，；若a＜﹣1時，.