Question

【題目】以四邊形ABCD的邊AB，AD為邊分別向外側作等邊三角形ABF和等邊三角形ADE，連接EB，FD，交點為G．

（1）當四邊形ABCD為正方形時，如圖①，EB和FD的數量關系是　 　；

（2）當四邊形ABCD為矩形時，如圖②，EB和FD具有怎樣的數量關系？請加以證明；

（3）如圖③，四邊形ABCD由正方形到矩形再到一般平行四邊形的變化過程中，EB和FD具有怎樣的數量關系？請直接寫出結論，無需證明．

Answer 1

【答案】（1）DF＝BE；（2）EB＝FD，證明見解析；（3）DF＝BE

【解析】

（1）根據題意可得AB=AF，AD=AE，∠FAB=∠EAD，即可得∠FAD=∠EAB，則可證△AFD≌△AEB，可得BE=DF

（2）根據題意可得AB=AF，AD=AE，∠FAB=∠EAD，即可得∠FAD=∠EAB，則可證△AFD≌△AEB，可得BE=DF

（3）根據題意可得AB=AF，AD=AE，∠FAB=∠EAD，即可得∠FAD=∠EAB，則可證△AFD≌△AEB，可得BE=DF．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形

∴AB＝AD，∠BAD＝90°

∵△BAF和△AED是等邊三角形

∴AF＝AB，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°

∴AE＝AD＝AF＝AB，∠FAD＝∠EAB

∴△ABE≌△ADF

∴DF＝BE

故答案為DF＝BE

（2）EB＝FD

理由如下：

∵△BAF和△AED是等邊三角形

∴AF＝AB，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°

∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD

∴∠FAD＝∠EAB

又∵AF＝AB，AE＝AD

∴△ABE≌△AFD

∴DF＝BE

（3）BE＝DF

理由如下∵△BAF和△AED是等邊三角形

∴AF＝AB，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°

∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD

∴∠FAD＝∠EAB

又∵AF＝AB，AE＝AD

∴△ABE≌△AFD

∴DF＝BE