Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，連接AD，E為AD的中點，過A作AF∥BC交BE延長線于F，連接CF．

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出與△ACD面積相等的三角形（不包含△ACD）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）與△ACD面積相等的三角形有：△ABD，△ACF，△AFB

【解析】

（1）首先由E是AD的中點，AF∥BC，易證得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，可得AD＝BD＝CD＝AF，證得四邊形ADCF是平行四邊形，繼而判定四邊形ADCF是菱形；

（2）根據平行線之間的距離處處相等、等高模型和菱形的性質即可解決問題；

（1）證明：如圖，∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，

∴AD＝DC＝BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（2）∵BD=CD，而△ABD的邊BD上的高即為△ACD的邊CD上的高

∴S△ACD=S△ABD；

∵四邊形ADCF是菱形

∴S△ACD=S△ACF；

∵AF∥CD

∴△ACD的邊CD上的高等于△BAF的邊AF上的高

∵AF=CD

∴S△ACD=S△AFB

綜上：與△ACD面積相等的三角形有：△ABD，△ACF，△AFB．