Question

【題目】長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉動的速度是a°/秒，燈B轉動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

（1）求a、b的值；

（2）若燈B射線先轉動20秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

（3）如圖，兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前．若射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉動過程中，= 。

Answer 1

【答案】（1）a=3，b=1；

（2）當t=10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；

（3）∠BAC：∠BCD=3：2

【解析】分析：

（1）根據|a-3b|+=0，可得a-3b=0，且a+b-4=0，進而得出a、b的值；

（2）設A燈轉動x秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：①在燈A射線轉到AN之前，②在燈A射線轉到AN之后，分別求得t的值即可；

（3）設燈A射線轉動時間為t秒，根據∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得∠BAC與∠BCD的數量關系．

本題解析：（1）∵a、b滿足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0，

∴a﹣3b=0，且a+b﹣4=0，

∴a=3，b=1；

（2）設A燈轉動x秒，兩燈的光束互相平行，

①在燈A射線轉到AN之前，

3t=（20+t）×1 解得t=10；

②在燈A射線轉到AN之后，

3t﹣3×60+（20+t）×1=180， 解得t=85

綜上所述，當t=10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；

（3）(3)設燈A射線轉動時間為t秒，

∵∠CAN=3t，

∴∠BAC=(3t)=3t，

又∵PQ∥MN，

∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+3t=2t，

而∠ACD=，

∴∠BCD=∠BCA=(2t)=2t，

∴ ，