Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，動點P從點C出發，沿CA方向運動，速度是2cm/s，動點Q從點B出發，沿BC方向運動，速度是1cm/s．

（1）幾秒后P，Q兩點相距25cm？

（2）幾秒后△PCQ與△ABC相似？

（3）設△CPQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10秒后P、Q兩點相距25cm；（2） 秒或秒后△PCQ與△ABC相似；（3）運動10秒或15秒時，S1：S2=2：5

【解析】試題分析：（1）設x秒后P、Q兩點相距25cm，用x表示出CP、CQ，根據勾股定理列出方程，解方程即可；（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA兩種情況，根據相似三角形的性質列出關系式，解方程即可；（3）用t分別表示出CP、CQ，根據題意列出方程，解方程即可．

試題解析：（1）設x秒后P、Q兩點相距25cm，

則CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由題意得，（2x）2+（25﹣x）2=252 ，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

則10秒后P、Q兩點相距25cm

（2）設y秒后山△PCQ與△ABC相似，

當△PCQ∽△ACB時， =，即 ，

解得，y= ，

當△PCQ∽△BCA時， = ，即，

解得，y= ，

故 秒或秒后△PCQ與△ABC相似

（3）△CPQ的面積為S1=×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面積為S2= ×AC×BC=375，

由題意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故運動10秒或15秒時，S1：S2=2：5