Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，圓M經過原點O，且與x軸、y軸分別相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）兩點．

（1）求出直線AB的函數解析式；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在圓M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數解析式；
（3）設（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S△PDE= S△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線AB的函數解析式為y=kx+b，

把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得 ，解得 ，

所以直線AB的解析式為y=﹣ x﹣6

（2）解：在Rt△AOB中，AB= =10，

∵∠AOB=90°，

∴AB為⊙M的直徑，

∴點M為AB的中點，M（﹣4，﹣3），

∵MC∥y軸，MC=5，

∴C（﹣4，2），

設拋物線的解析式為y=a（x+4）2+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x+4）2+2，即y=﹣ x2﹣4x﹣6

（3）解：存在．

當y=0時，﹣ （x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

S△ABC=S△ACM+S△BCM= 8CM=20，

設P（t，﹣ t2﹣4t﹣6），

∵S△PDE= S△ABC，

∴ （﹣2+6）|﹣ t2﹣4t﹣6|= 20，

即|﹣ t2﹣4t﹣6|=1，

當﹣ t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+ ，t2=﹣4﹣ ，此時P點坐標為（﹣4+ ，1）或（﹣4﹣ ，0）

當﹣ t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣ ；此時P點坐標為（﹣4+ ，﹣1）或（﹣4﹣ ，0）

綜上所述，P點坐標為（﹣4+ ，1）或（﹣4﹣ ，0）或（﹣4+ ，﹣1）或（﹣4﹣ ，0）時，使得S△PDE= S△ABC．

【解析】（1）利用待定系數法可求出直線AB的解析式；（2）先利用勾股定理計算出AB=10，再根據圓周角定理得到AB為⊙M的直徑，則點M為AB的中點，M（﹣4，﹣3），則可確定C（﹣4，2），然后利用頂點式求出拋物線解析式；（3）通過解方程﹣ （x+4）2+2=0得到D（﹣6，0），E（﹣2，0），利用S△ABC=S△ACM+S△BCM ， 可求出S△ABC=10，設P（t，﹣ t2﹣4t﹣6），所以 （﹣2+6）|﹣ t2﹣4t﹣6|= 20，然后解絕對值方程求出t即可得到P點坐標．