Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點P（﹣3，4）為圓心的⊙P與y軸相切，A是x軸上一動點，過A點的直線與⊙P相切于點B，以AB為邊作正方形ABCD，則正方形ABCD面積的最小值為_____．

Answer 1

【答案】7．

【解析】

由切線的性質得到PB⊥AB，則在直角△APB中，AB2=AP2-PB2，PB=3為定值，欲求正方形ABCD面積即AB2的最小值，只需AP取最小值即可，當AP⊥x軸時，AP最小，則易得正方形ABCD面積的最小值．

解：∵以點P（-3，4）為圓心的⊙P與y軸相切，
∴⊙P的半徑為3．
如圖，連接AP、PB．
∵AB與⊙P相切且點B為切點，
∴PB⊥AB，則在直角△APB中，AB2=AP2-PB2，即AB2=AP2-9．
∵PB=3為定值，
∴當AP取最小值時，AB的值最小．當AP⊥x軸時，AP最小，此時AP=4，
∴AB2=42-9=7．
∴正方形ABCD面積的最小值=AB2=7．
故答案是：7．