Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊長為，點，分別在軸正半軸與軸正半軸上，是對角線.點從點出發向點運動（不與點，重合），到達點時停止運動，射線交軸于點，，交軸于點，交軸于點，連結，.

（1）求證：；

（2）請探究：的面積是否變化？若不變化，試求出的面積；若變化，請說明理由；

（3）當為何值時，是等腰直角三角形；

（4）過點作，垂足為點，請直接寫出點運動的路線長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； (2)三角形的面積=4，為定值；（3）；（4）運動的路線長為.

【解析】

（1）由∠POB=∠POF+∠OPF=45°，∠POA=∠PEO+∠OPE=45°，∠EPF=∠EPO+∠OPD=45°，可得∠EPO=∠OFP，∠PEO=∠OPF；（2）由△POE∽△FOP，可得，推出OP2=OEOF，由正方形OAPB的邊長為2，推出OP=2，推出OEOF=8，由此即可解決問題；（3）分兩種情形討論求解即可；（4）確定點G的運動軌跡，利用弧長公式計算即可.

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形OAPB是正方形，
∴∠POB=∠POA=45°，
∵∠POB=∠POF+∠OPF=45°，∠POA=∠PEO+∠OPE=45°，∠EPF=∠EPO+∠OPD=45°，
∴∠EPO=∠OFP，∠PEO=∠OPF，
∴△POE∽△FOP；
（2）解：結論：△OEF的面積是定值，不變；
理由：∵△POE∽△FOP，
∴，
∴OP2=OEOF，
∵正方形OAPB的邊長為2，
∴OP=2，
∴OEOF=8，
∴S△OEF=OEOF=4．
（3）如圖2中，當FP=FE，∠PFE=90°時，易證△FBP≌△EOF，
∴OF=BP=2，OE=BF=4，
∵PB∥EO，
∴，
∴OC=,BC=，
∴m=.

如圖3中，當PE=FE，∠PPEF=90°時，易證△FOD≌△EAP，
∴OE=AP=2，OF=AE=4，
∵PB∥EO，
∴ =1，
∴OC=BC=1，
∴m=1，

綜上所述，滿足條件的m的值為或1．
（4）如圖4中，將△PAD繞點P順時針旋轉90°得到△PBK．

易證△CPD≌△CPK，
∵PG⊥CD，PB⊥CK，
∴PG=PB=2，
∴點G的運動軌跡是以P為圓心2為半徑的弧BD，
∴點G運動的路線長==π.