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22.(2009遼寧卷文)(本小題滿分12分)

設(shè)，且曲線y＝f(x)在x＝1處的切線與x軸平行。

(I)　　　　　　　　　 求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；

(II)　　　　　　　 證明：當(dāng) 　　　　　　

解：(Ⅰ).有條件知，

　 　　　　　，故.　　　　　　　　　　　　 ………2分

　　　 于是.

　　　 故當(dāng)時(shí)，＜0； 　　　　　

　　　 當(dāng)時(shí)，＞0.

　　　 從而在，單調(diào)減少，在單調(diào)增加.　　　　 ………6分

　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在單調(diào)增加，故在的最大值為，

最小值為. 　　　　　　

　　 　從而對(duì)任意，，有.　　　　　　 ………10分

　　　 而當(dāng)時(shí)，.

　　　 從而　　 　　　　　　　　　　　　　　　　………12分

21.(2009福建卷理)(本小題滿分14分)

已知函數(shù),且　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1) 試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間；

(2)令,設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)M (,)，N(,)，P(),　 ,請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問(wèn)題：

(I)若對(duì)任意的m (, x)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；

(II)若存在點(diǎn)Q(n ,f(n)), x n< m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍(不必給出求解過(guò)程)　　　　　　　　　　　　　　　　　

解法一:

(Ⅰ)依題意,得

由.

從而

令 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

①當(dāng)a>1時(shí),

當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：

x
	+	－	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)有恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R

③當(dāng)時(shí)，同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

綜上：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)由得令得

由(1)得增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故M()N()。

觀察的圖象，有如下現(xiàn)象：

①當(dāng)m從-1(不含-1)變化到3時(shí)，線段MP的斜率與曲線在點(diǎn)P處切線的斜率之差Kmp-的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。

②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點(diǎn)與Kmp－的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；

③Kmp－=0對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測(cè)：滿足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線在點(diǎn)處的切線斜率；

線段MP的斜率Kmp

當(dāng)Kmp－=0時(shí)，解得

直線MP的方程為 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

令

當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，即線段MP與曲線沒(méi)有異于M，P的公共點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，.

所以存在使得

即當(dāng)MP與曲線有異于M,P的公共點(diǎn)21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

綜上，t的最小值為2.

(2)類似(1)于中的觀察，可得m的取值范圍為

解法二：

(1)同解法一.

(2)由得，令，得

由(1)得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值。故M().N()

　(Ⅰ) 直線MP的方程為

由

得

線段MP與曲線有異于M,P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在(－1,m)上有根,即函數(shù)

上有零點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)為三次函數(shù),所以至多有三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)極值點(diǎn).

又.因此, 在上有零點(diǎn)等價(jià)于在內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),即內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根.

等價(jià)于　　　　 即

又因?yàn)?sub>,所以m 的取值范圍為(2,3)

從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.

20.(2009湖南卷文)(本小題滿分13分)

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.

(Ⅰ)求b的值；

(Ⅱ)若在處取得最小值，記此極小值為，求的定義域和值域。

解: (Ⅰ).因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

所以，于是　　

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，.

(ⅰ)當(dāng)c 　12時(shí)，，此時(shí)無(wú)極值。　　

(ii)當(dāng)c<12時(shí)，有兩個(gè)互異實(shí)根,.不妨設(shè)＜，則＜2＜.

當(dāng)x＜時(shí)，， 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；　　 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

當(dāng)＜x＜時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).　　

所以在處取極大值，在處取極小值.

因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處存在唯一極小值，所以.

于是的定義域?yàn)?sub>.由 得.

于是　　 .

當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，故的值域?yàn)?sub>　　　　　　 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

19.(2009全國(guó)卷Ⅱ理)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且

(I)求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；

(II)證明： 　　　　　　

解: (I)

　 令，其對(duì)稱軸為。由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得

⑴當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

⑵當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)；

⑶當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；

(II)由(I)，

設(shè)，

則

⑴當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；

⑵當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減。21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

故． 　　　　　　　

18.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是。

(I)求函數(shù)的解析式；

(II)設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值.

[解析](I)由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即……①

又，由已知得……②

聯(lián)立①②，解得.

所以函數(shù)的解析式為　　 …………………………………4分

(II)因?yàn)?sub>

令

當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

由，得.

①當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無(wú)極值

②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在時(shí)，函數(shù)有極值；

當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值；

　 …………………………………12分

17.(2009湖北卷理)(本小題滿分14分) (注意：在試題卷上作答無(wú)效)

　　 在R上定義運(yùn)算(b、c為實(shí)常數(shù))。記，，.令.

如果函數(shù)在處有極什,試確定b、c的值；

求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；

記的最大值為.若對(duì)任意的b、c恒成立，試示的最大值。

解當(dāng)得對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間之外21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

此時(shí)

由 　　　　　　　　　

①　　 若

于是

②　　 若，則，

于是

綜上，對(duì)任意的b、c都有

而當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上的最大值 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

故對(duì)任意的b，c恒成立的k的最大值為 　　　　　　　　　

16.(2009天津卷文)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)曲線處的切線斜率

(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(Ⅲ)已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，，且。若對(duì)任意的，恒成立，求m的取值范圍。

[答案](1)1(2)在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=

函數(shù)在處取得極小值，且=

[解析]解：當(dāng)

所以曲線處的切線斜率為1. 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

(2)解：，令，得到

因?yàn)?sub>

當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
		極小值		極大值

在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。

函數(shù)在處取得極大值，且=

函數(shù)在處取得極小值，且=

(3)解：由題設(shè)，

所以方程=0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得

因?yàn)?sub>

若，而，不合題意

若則對(duì)任意的有

則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對(duì)任意的，恒成立的充要條件是,解得 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

綜上，m的取值范圍是

[考點(diǎn)定位]本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及函數(shù)與方程的根的關(guān)系解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

15.(2009江西卷理)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)

(1)　　　 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；21世紀(jì)教育網(wǎng)　　　　　

(2)　　　 若，求不等式的解集．

解： (1)　 , 由,得 .

因?yàn)?當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),；

所以的單調(diào)增區(qū)間是:； 單調(diào)減區(qū)間是: .

(2)　　　　　　　　　 由　 ,

　得：.　

故：當(dāng) 時(shí), 解集是：；

當(dāng) 時(shí)，解集是： ；

當(dāng) 時(shí), 解集是：. 21世紀(jì)教育網(wǎng)　　　　　

14.(2009江西卷文)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)．　　　　　

(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；

(2)若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍．　　　　　

解：(1) ,

　　　 因?yàn)?sub>,, 即 恒成立,

　　　 所以 , 得，即的最大值為

　　　 (2)　 因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;

　　　　　 所以 當(dāng)時(shí),取極大值 ;　　　　　　

　　　　　 當(dāng)時(shí),取極小值 ;

　　　　 故當(dāng) 或時(shí), 方程僅有一個(gè)實(shí)根. 解得 或.

13.(2009安徽卷文)(本小題滿分14分)

　已知函數(shù)，a＞0，21世紀(jì)教育網(wǎng)　　　　　

(Ⅰ)討論的單調(diào)性；

(Ⅱ)設(shè)a=3，求在區(qū)間{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

[思路]由求導(dǎo)可判斷得單調(diào)性，同時(shí)要注意對(duì)參數(shù)的討論，即不能漏掉，也不能重復(fù)。第二問(wèn)就根據(jù)第一問(wèn)中所涉及到的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)在上的值域。

[解析](1)由于

令 21世紀(jì)教育網(wǎng)　　　

①當(dāng),即時(shí), 恒成立.

在(－∞,0)及(0,+∞)上都是增函數(shù).

②當(dāng),即時(shí)21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

由得或 21世紀(jì)教育網(wǎng)　　　

或或

又由得

綜上①當(dāng)時(shí), 在上都是增函數(shù).

②當(dāng)時(shí), 在上是減函數(shù), 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

在上都是增函數(shù).

(2)當(dāng)時(shí),由(1)知在上是減函數(shù).

在上是增函數(shù).

又 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

函數(shù)在上的值域?yàn)?sub> 21世紀(jì)教育網(wǎng)