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（I）求異面直線MN和CD₁所成的角；
（II）證明：EF//平面B₁CD₁.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系相同的長度單位建立極坐標(biāo)系.曲線C₁的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）；射線C₂的極坐標(biāo)方程為：,且射線C₂與曲線C₁的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
(I )求曲線C₁的普通方程；
(II)設(shè)A、B為曲線C₁與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，M為曲線C₁上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若直線AM與MB分別與x軸交于P,Q兩點(diǎn)，求證|OP|.|OQ|為定值.

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，、分別為、的中點(diǎn)。
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積；
（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值。

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說明：

    一、本解答指出了每題要考察的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如

果考生的解法與本解法不同，可根據(jù)試題的主要考察內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)

則。

    二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一部分解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程

度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答

有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

    四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本涂考察基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分。

1．A   2．A   3．B   4．C   5．B   6．B   7．C   8．D   9．C   10．D

二、填空題：本題考察基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分。

11．     12．60      13．-540    14．    15．820

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。

16．本小題主要考察概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，以及推理與運(yùn)算

能力。滿分13分。

（I）、同奇的取法有種，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ），

??????????????????????? 10分

其分布列為

1

2

3

4

5

????????????????????????????????????? 13分

17．本小題主要考察直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，體積的計(jì)算等知識(shí)，考察空間

想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力，滿分13分。

（I）連結(jié)BD，由已知得BD=2，

在正三角形BCD中，BE=EC，

，又，

…………………………2分

又平面，

，…………………………3分

，

平面PAD。……………………4分

（Ⅱ），

且，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

??????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）證法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則由（I）知平面的一個(gè)法向量為

，

設(shè)平面PBC的法向量為，

由

取得???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

?????????????????????????????????????????????????? 12分

平面PAD與平面PBC所成的銳二面角大小的余弦值為??????????????????????? 13分

證法二：由（I）知平面平面，

平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

又

平面又平面

平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

就是平面與平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分

在中，

?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

18．本小題主要考察兩角和差公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系，解斜三角形的基本知

識(shí)以及推理能力、運(yùn)算能力和應(yīng)用能力，滿分13分。

解：在中，

????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

化簡得：

        ???????????????????????????????????????????????????????????? 4分

所以

????????????????????????? 6分

???????????????????? 8分

即???????????????????????????????????????????????????????? 10分

所以當(dāng)即時(shí)，=???????????????????????????????????? 12分

答：當(dāng)時(shí)，所建造的三角形露天活動(dòng)室的面積最大。?????????????????????????? 13分

19．本題主要考查直線、橢圓、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線方程的求法以及研究曲線的定性

定量的基本方法，考查運(yùn)算能力、探究能力和綜合解題能力，滿分13分。

解：（I）設(shè)橢圓E的方程為

由已知得：

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

橢圓E的方程為??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則：

????????????????????????????????????????????????? 5分

①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則

由

得

???????????????????????????????????????????????????????? 7分

所以

            ????????????????????????????????????????????? 9分

對(duì)于任意的值，為定值，

所以，得，

所以；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線

由得

綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為。????????????????????????????? 13分

法二：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)則：

         =????????????????????????????????????????????????? 5分

①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由

得

?????????????????????????????????????????????????????????? 7分

           ????????????????????????????????????????????????? 9分

設(shè)則

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線，由得：

綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為???????????????????????????????? 13分

20．本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的基本知識(shí)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及

推理和運(yùn)算能力。考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力，滿分14分。

解：（I）

             ?????????????????????????????????????????? 2分

由已知得：

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）方法一：由（I）得

在上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立，

即對(duì)恒成立。

即對(duì)恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分

令，

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9

方法二：同方法一。

令

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（Ⅲ）方法一：

          ?????????????????????????????????????????????????????? 10分

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，??????????????????????????????????????????????? 12分

…

根據(jù)題意可知??????????????????????????????????????? 14分

方法二：同方法一，

???????????????????????????????????????? 10分

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，???????????????????????????????????????????????????? 12分

…

根據(jù)題意可知??????????????????????????????????????? 14分

方法三：設(shè)是數(shù)列中的最大項(xiàng)，則

??????????????????????????? 12分

為最大項(xiàng)，

所以?????????????????????????????????????????????????? 14分

以下同上

21．本題考查，本題滿分14分

（I）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運(yùn)算求解能力及化

歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7分。

解：

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

，即???????????????????????????????????????????????????????? 4分

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

曲線的方程為??????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅱ）本題主要考查直線和圓的極坐標(biāo)方程，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7

分。

解：

即???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

圓心的坐標(biāo)為??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

，即???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

圓心到直線的距離為1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）本題主要考查利用常見不等式求條件最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7分

解：

????????????????????????????????????????? 3分

?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到“=”號(hào)，

當(dāng)時(shí)的最小值為??????????????????????????????? 7分