Question

（I）求異面直線MN和CD₁所成的角；
（II）證明：EF//平面B₁CD₁.

Answer 1

（1）60°

（I）連結BC₁、AD₁、AC，則在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB、A₁B₁、C₁D₁
所以四邊形ABC₁D₁為平行四邊形，從而AD₁//BC₁.
又M、N分別為BB₁，B₁C₁的中點，，進而MN//AD₁.
從而∠AD₁C為異面直線MN與CD₁所成的角. ………………4分
令正方體棱長為a，則AD₁=D₁C=AC=. 即△AD₁C為正三角形
所以，即異面直線MN和CD₁所成的角為60°   ……6分
（II）證明: ∵ BB₁ //DD₁  BB₁ =DD₁  ∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形 
∴  BD // B₁D₁                                                 ……8分
又E、F分別是棱、AB和AD的中點. ∴EF//BD ∴  EF // B₁D₁……10分
EF 平面B₁CD₁  B₁D₁平面B₁CD₁
∴EF//平面B₁CD₁                                                      ……12分