[數學論文]也談高考三角函數熱點問題
三角函數是高中數學的重要內容之一, 三角函數問題也是歷年高考的熱點問題,本文以2008年全國各地高考試題為例對高考三角函數部分的熱點問題再進行熱點分析,僅供參考.
一、考小題，重在基礎.有關三角函數的小題，其考查的重點在于基礎知識，如：解析式、圖像及圖像變換、定義域、值域、五性（最值、單調性、奇偶性、周期性、對稱性）及簡單的三角變換（求值、化簡、比較大小）等仍是高考的重點.
例1、（江西6）函數
是（ ）
A．以
為周期的偶函數 B．以
為周期的奇函數
C．以為周期的偶函數 D．以為周期的奇函數
解析：
，
所以此函數的周期為
，且為偶函數.
例2.（山東卷5）已知cos（α-
）+sinα=
（ ）
（A）-
（B）
(C)-
(D)
解析：
，
.
例3、（全國一8）為得到函數
的圖像，只需將函數
的圖像（ ）
A．向左平移
個長度單位 B．向右平移個長度單位
C．向左平移
個長度單位 D．向右平移個長度單位
解析：
.
二、考大題，難度明顯降低，通過三角公式的變形，轉化，最終化簡成一角一名形式，再利用三角函數的性質等求解仍不會退色.
例4．（安徽17）已知函數
（Ⅰ）求函數
的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）求函數在區間
上的值域.
解析：（1）
.
（2）
，
因為
在區間
上單調遞增，在區間
上單調遞減，
所以 當
時，取最大值 1 ，
又 
，
當
時，取最小值
，
所以 函數 在區間上的值域為
.
三、考應用，融入三角形再現亮點
例5．（全國Ⅰ17）設
的內角
所對的邊長分別為
，且
，
．
（Ⅰ）求邊長
；
（Ⅱ）若的面積
，求的周長
．
解析：（1）由與兩式相除，有：
，
又通過知：
，
則
，
，
則
．
（2）由
，得到
．
由
，
解得：
，
最后
．
四、考綜合，知識交叉命題備受命題者的青睞
例6．（江蘇17）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=
（1）按下列要求寫出函數關系式：
①設∠BAO=θ(rad)，將y表示成θ的函數關系式；
②設OP=x(km)，將y表示成x的函數關系式；
（2）請你選用（1）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短.
解析：（1）①由條件知PQ垂直平分AB，
若∠BAO=θ(rad)，則
，
故
，
又
，
所以
，
所求函數關系式為
.
②若OP=x(km)，則OQ=10-x，所以
，
所求函數關系式為
.
（2）選擇函數模型①，
，
令
，得：
.
當
時
，y是θ的減函數；當
時
，y是θ的增函數；
所以當
時，
.
此時點O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊
km處.
練習：
1．(陜西1) 
等于（ ）
A． B．
C．
D．
2．（浙江2）函數
的最小正周期是 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
3．(天津6)
把函數
的圖象上所有的點向左平行移動
個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（四川7）
的三內角
的對邊邊長分別為
，若
，則
( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
5．（四川17）求函數
的最大值與最小值.
6．（全國Ⅱ17）在中，
，．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）設
，求的面積．
7．(山東17)（本小題滿分12分）
已知函數
（
，
）為偶函數，且函數
圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）將函數的圖象向右平移
個單位后，得到函數
的圖象，求
的單調遞減區間．
答案：
1.B 2. B 3. C 4 .B
5. 解析：
，
由于函數
在
中的最大值為： 
，
最小值為： 
，
故當
時
取得最大值
，當
時取得最小值
.
6. 解析：（Ⅰ）由，得
，
由，得．
所以
．
（Ⅱ）由正弦定理得
．
7. 解析：（Ⅰ）
．
因為為偶函數，
所以對
，
恒成立，
因此
．
即
，
整理得
．
因為，且，
所以
．
又因為，
故
．
所以
．
由題意得
，所以
．
故
．
因此
．
（Ⅱ）將的圖象向右平移個單位后，得到
的圖象，
所以
．
當
（
），
即
（）時，單調遞減，
因此的單調遞減區間為
（）．
所以的面積
．
通過近幾年高考中出現的三角函數的考題的再次深思和研究，猜測2009年高考，利用三角公式化簡求值，求五性，在三角形中解三角，各知識點的交叉命題如與平面向量等仍會再現亮點.
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