廣東省中山市2008-2009學年高三第一學期期末統一考試
數學科試卷（理科）
本試卷分第I卷（選擇題）、第II卷（非選擇題）兩部分。共150分，考試時間120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1、答第I卷前，考生務必將自己的姓名、統考考號、座位號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。
2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上。
3、不可以使用計算器。
4、考試結束，將答題卡交回，試卷不用上交。
一、選擇題（每小題5分，共40分。每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求）
1．函數
是
A．周期為
的奇函數 B．周期為的偶函數
C．周期為
的奇函數 D．周期為的偶函數
2．已知物體的運動方程為
（t是時間，s是位移），則物體在時刻t=2時的速度為
A．
B．
C．
D．
3．已知
，那么
A．－2 B．
4．已知在等差數列｛
｝中,
若
，則n的最小值為
A．60 B．62 C．70 D．72
5．
中，若
，則的外接圓半徑為
A．
B．
C．
D．
6．若實數
滿足條件
, 目標函數
，則
A．
B．
C． 
D．
7．底面是矩形的四棱柱
中，
，
，
，則
A．
B．
C．
D．
8．身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍顏色衣服的有一人，現將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（ ） 種。
A．24 B．28 C．36 D．48
第II卷（非選擇題共110分）
二、填空題（每小題5分，共30分）
9．若數據
的平均數
=5，方差
，則數據
的平均數為 （2分），方差為 （3分）。
10．直線
與拋物線
所圍成圖形的面積為 .
11．若
，則
=
.
12．已知函數
滿足，
，則
=
.
13．以下有四種說法：
（1）若
為真，
為假，則
與
必為一真一假；
（2）若數列
的前
項和為
，則
；
（3）若
，則在
處取得極值；
（4）由變量x和y的數據得到其回歸直線方程
，則
一定經過點
.
以上四種說法，其中正確說法的序號為 ．
14．為迎接校慶，學校準備投入a元建造一個花圃（如圖）．已知矩形ABCD的造價為40元/
，其余的兩個半圓及兩個圓的造價為20元/．兩圓的直徑分別為矩形的長和寬，由于矩形ABCD要種名貴花卉，故建造時要求矩形ABCD的面積越大越好．那么，當矩形ABCD的面積達到最大時，
三、解答題（共80分．解答題應寫出推理、演算步驟）
15. （本題滿分12分）
已知向量
, 
,
.
（Ⅰ）求
的值;
（Ⅱ）若
, 
,
且
, 求
.
16. （本題滿分12分）已知數列
是首項為
，公比
的等比數列，設
，數列
.
（1）求數列
的通項公式；（2）求數列
的前n項和Sn.
17．（本小題滿分14分）已知10件產品中有3件是次品.
（I）任意取出3件產品作檢驗，求其中至少有1件是次品的概率；
（II）為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6，最少應抽取幾件產品作檢驗？
18. （本題滿分14分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，
（I）求證：
平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦；
（III）求點E到平面ACD的距離．
19. （本題滿分14分）已知
，
，
（1）若f(x)在
處取得極值，試求c的值和f(x)的單調增區間；
（2）如右圖所示，若函數
的圖象在
連續光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在
使得
？（用含有a,b,f(a),f(b)的表達式直接回答）
（3）利用（2）證明：函數y=g(x)圖象上任意兩點的連線斜率不小于2e-4.
20. （本題滿分14分）已知函數
.
（1）若
使
,求實數
的取值范圍;
（2）設
,且
在
上單調遞增,求實數
的取值范圍.
中山市高三級2008―2009學年度第一學期期末統一考試
數學科試卷（理科）答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
A
C
C
D
二、填空題（每小題5分，共30分）
9． 16 （2分），18 （3分） 10． 
11． 
12． 
13． （1） （4） 14．
三、解答題（共80分．解答題應寫出推理、演算步驟）
15. （本題滿分12分）
已知向量, ,
.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若, ,
且, 求.
解：（Ⅰ）
, 
,
. ……………2分
,
,
………3分
即
,
………5分 
.
……………6分
（Ⅱ）
,
……………7分
, 
， 
……………9分 
.
……………12分
16. （本題滿分12分）已知數列是首項為，公比的等比數列，，
設，數列.
（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和Sn.
解（1）由題意知，
，……………2分
又
，
故 
……………4分
（2）由（1）知，
……………6分
……7分
于是
…………………………9分
兩式相減，得
…………………………12分
……………12分
17．（本小題滿分14分）已知10件產品中有3件是次品.
（I）任意取出3件產品作檢驗，求其中至少有1件是次品的概率；
（II）為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6，最少應抽取幾件產品作檢驗？
解：（1）任意取出3件產品作檢驗，全部是正品的概率為
…………3分
故至少有一件是次品的概率為1-7/24=17/24……………………6分
（2）設抽取n件產品作檢驗，則3件次品全部檢驗出的概率為
………8分
由
……………9分
整理得：
，……………………11分
∴當n=9或n=10時上式成立.…………13分
答：任意取出3件產品作檢驗，其中至少有1件是次品的概率為17/24，為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6，最少應抽取9件產品作檢驗.………………14分
18. （本題滿分14分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，
（I）求證：平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦；
（III）求點E到平面ACD的距離．
解：方法一：
（I）證明：連結OC
………1分
在
中，由已知可得
而
即
……………3分
又
平面
……………5分
（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。……………6分
在
中，
……………7分
是直角斜邊AC上的中線，
……………8分
異面直線AB與CD所成角大小的余弦為
；……………9分
（III）解：設點E到平面ACD的距離為
……………11分
在
中，
……………12分
而
……………13分
點E到平面ACD的距離為
……………14分
方法二：
（II）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，
（I）同方法一．……………5分
則
………………6分
…………7分
………9分
異面直線AB與CD所成角大小的余弦為；……………10分
（III）解：設平面ACD的法向量為
則
……………11分
令
得
是平面ACD的一個法向量．……………12分
又
點E到平面ACD的距離
……………14分
19. （本題滿分14分）已知，，
（1）若f(x)在處取得極值，試求c的值和f(x)的單調增區間；
（2）如右圖所示，若函數的圖象在連續光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有a,b,f(a),f(b)的表達式直接回答）
（3）利用（2）證明：函數y=g(x)圖象上任意兩點的連線斜率不小于2e-4.
解：（1）
，………1分
依題意，有
，即 
．……………2分
，
．
令
得
，……………4分
從而f(x)的單調增區間為：
；……………5分
（2）
；……………8分
（3）
，…………9分
……………10分
………12分
由（2）知，對于函數y=g(x)圖象上任意兩點A、B，在A、B之間一定存在一點
,使得
，又
，故有
，證畢．………14分
20. （本題滿分14分）已知函數.
（1）若使,求實數的取值范圍;
（2）設,且在上單調遞增,求實數的取值范圍.
解：（1）由,
，得,
，……………1分
所以，
……………3分
；……………4分
（2）由題設得
，……………5分
對稱軸方程為
，
。……………7分
由于在上單調遞增，則有
(Ⅰ)當
即
時,有
。……………9分
(Ⅱ)當
即
時，
設方程
的根為
，
① 若
,則
，有
解得
；……………11分
②若
,即
，有
；
。……………13分
由①②得
。
綜合(Ⅰ)， (Ⅱ)有 
．……………14分
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