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    1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。

    2.所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。

    3.分類原則：分類對象確定，標準統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級討論。

    4.分類方法：明確討論對象，確定對象的全體，確定分類標準，正確進行分類；逐類進行討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。

    5.含參數(shù)問題的分類討論是常見題型。

    6.注意簡化或避免分類討論。

例1.一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（    ）

      A.                        B.

      C.             D.

分析：設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a,

    當a=0時，直線過原點，此時直線方程為；

    當時，設(shè)直線方程為，方程為。

例2．

    分析：

    因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時，是一解還是兩解？這一點需經(jīng)過討論才能確定，故解本題時要分類討論。對角A進行分類。

解：

    這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。

例3.已知圓x²+y²=4，求經(jīng)過點P（2，4），且與圓相切的直線方程。

    分析：容易想到設(shè)出直線的點斜式方程y-4=k(x-2)再利用直線與圓相切的充要條件：“圓心到切線的距離等于圓的半徑”，待定斜率k，從而得到所求直線方程，但要注意到：過點P的直線中，有斜率不存在的情形，這種情形的直線是否也滿足題意呢？因此本題對過點P的直線分兩種情形：（1）斜率存在時，…（2）斜率不存在…

    解（略）：所求直線方程為3x-4y+10=0或x=2

例4.

    分析：解對數(shù)不等式時，需要利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)符號的不等式。而對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值不同而不同，故需對a進行分類討論。

    解：

例5.

    分析：解無理不等式，需要將兩邊平方后去根號，以化為有理不等式，而根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有在不等式兩邊同時為正時，才不改變不等號方向，因此應(yīng)根據(jù)運算需求分類討論，對x分類。

    解：

例6.

    分析：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項系數(shù)a分類：（1）a≠0（2）a=0，對于（2），不等式易解；對于（1），又需再次分類：a>0或a<0，因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點之后，又會遇到1與誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類。

    解：

    綜上所述，得原不等式的解集為

；；

；；

。

例7.已知等比數(shù)列的前n項之和為，前n+1項之和為，公比q>0，令。

    分析：對于等比數(shù)列的前n項和S_n的計算，需根據(jù)q是否為1分為兩種情形：

    故還需對q再次分類討論。

    解： 

例8.

    分析：

    解：（1）當k=4時，方程變?yōu)?x²=0，即x=0，表示直線；

    （2）當k=8時，方程變?yōu)?y²=0，即y=0，表示直線；

    （i）當k<4時，方程表示雙曲線；（ii）當4<k<6時，方程表示橢圓；

    （iii）當k=6時，方程表示圓；（iv）當6<k<8時，方程表示橢圓；

    （v）當k>8時，方程表示雙曲線。

例9. 某車間有10名工人，其中4人僅會車工，3人僅會鉗工，另外三人車工鉗工都會，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車工，鉗工各3人，問有多少種選派方案？

    分析：如果先考慮鉗工，因有6人會鉗工，故有C₆³種選法，但此時不清楚選出的鉗工中有幾個是車鉗工都會的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會車工，因此在選車工時，就無法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先考慮車工也會遇到同樣的問題。因此需對全能工人進行分類：

（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。

    解：

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題策略，對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并無死的規(guī)定。但可以在解題時不斷地總結(jié)經(jīng)驗。

如果對于某個研究對象，若不對其分類就不能說清楚，則應(yīng)分類討論，另外，數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因，因此在解題時，應(yīng)注意挖掘這些個別情形進行分類討論。常見的“個別”情形略舉以下幾例：

（1）“方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為時忽略了了個別情形：當a=0時，方程有解不能轉(zhuǎn)化為△≥0；

（2）等比數(shù)列的前項和公式中有個別情形：時，公式不再成立，而是S_n=na₁。

 設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k，但有個別情形：當直線與x軸垂直時，直線無斜率，應(yīng)另行考慮。

(4)若直線在兩軸上的截距相等，常常設(shè)直線方程為，但有個別情形：a=0時，再不能如此設(shè)，應(yīng)另行考慮。

【模擬試題】

一. 選擇題：

  1. 若的大小關(guān)系為（    ）

    A.          B.

    C.          D. ；

  2. 若，且，則實數(shù)中的取值范圍是（    ）

    A.         B.

    C.          D.

  3. 設(shè)A=（    ）

    A. 1      B.      C.      D.

  4. 設(shè)的值為（    ）

    A. 1      B. 0          C. 7              D. 0或7

  5. 一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  6. 若（    ）

    A. 1          B.          C.      D. 不能確定

  7. 已知圓錐的母線為l，軸截面頂角為，則過此圓錐的頂點的截面面積的最大值為（    ）

    A.       B.

    C.         D. 以上均不對

  8. 函數(shù)的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍為（    ）

    A.       B.

    C.         D.

二. 填空題

  9. 若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4和2的矩形，則圓柱的體積是______________。

  10. 若，則a的取值范圍為________________。

  11. 與圓相切，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為____________。

  12. 在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有______________種（用數(shù)字作答）

  13. 不等式的解集為_____________。

三. 解答題：

  14. 已知橢圓的中心在原點，集點在坐標軸上，焦距為，另一雙曲線與此橢圓有公共焦點，且其實軸比橢圓的長軸小8，兩曲線的離心率之比為3：7，求此橢圓、雙曲線的方程。

  15. 設(shè)a>0且，試求使方程有解的k的取值范圍。

【試題答案】

一. 選擇題

  1. C     2. D       3. D       4. D       5. C       6. A       7. D       8. B

    提示：1. 欲比較p、q的大小，只需先比較的大小，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。而決定的大小的a值的分界點為使

的a值：a=1，

    當a>1時，此時

    當即。

    可見，不論a>1還是0<a<1，都有p>q。

  2. 若，即

    若

    可見當都有，故選（D）

  3. 若

    若，則，

  4. 由是1的7次方根，可得顯然，1是1的7次方根，故可能；若，則

    故選（D）

  5. 設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a,

    當a=0時，直線過原點，此時直線方程為；

    當時，設(shè)直線方程為，方程為

  6. 由

    于是總有，故選（A）

  7. 當時，最大截面就是軸截面，其面積為；

    當時，最大截面是兩母線夾角為的截面，其面積為

    可見，最大截面積為，故選（D）

  8. 當時，滿足題意

    綜上可知，

    故選（B）

二. 填空題

  9.

    （提示：若長為4的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，，則；若長為2的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則）

  10.

    （提示：對a分：兩種情況討論）

  11.

    （提示：分截距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形）

  12. 4186種

    （提示：對抽取5件產(chǎn)品中的次品分類討論：（1）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有4件次品，于是列式如下：=4140+46

=4186）

  13. 若，則解集為

    若，則解集為

    （提示：設(shè)

    解之得

    對a分類：時，

    ）

三. 解答題

  14. 解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點在x軸上，可設(shè)它們方程分別為

    ，依題意

    （2）若焦點在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為

    雙曲線方程為，依題意有

  15. 解：原方程可化為

    令

    則對原方程的解的研究，可轉(zhuǎn)化為對函數(shù)圖象的交點的研究

    下圖畫出了的圖象，由圖象可看出

    （1）當直線時，與雙曲線無交點，此時即當時，原方程無解；

    （2）當直線圖象與雙曲線漸近線重合，顯然直線與雙曲線無交點，即當k=0時，原方程無解；

    （3）當直線的縱截距滿足，即

時，直線與雙曲線總有交點，原方程有解。

    綜上所述，當