天津市十二區縣2009年重點學校高三畢業班聯考（二）
數學試題（理科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分．考試時間120分鐘．
祝各位考生考試順利！
第Ⅰ卷 選擇題 （共50分）
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目、試卷類型填涂在答題卡規定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答案不能答在試題卷上．
參考公式：
標準差
錐體體積公式 臺體體積公式
，
，
其中
為底面面積，
為高 其中
為上底面積，為下底面積，為高
柱體體積公式 球的表面積、體積公式
，
其中為底面面積，為高 
，
，其中
為球的半徑
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．復數
的值是 （ ）
A．2
B． 
C． 
D． 
2．實數
的取值范圍是 （ ）
A．
B．[8，10] C．[8，14] D． 
3． 如圖，直三棱柱的主視圖面積為
的面積為 （ ）
A．
B．a2
C．
D．
4． 右圖給出的是計算
的
值的一個程序框圖，判斷其中框內應填入
的條件是 （ ）
A． i>10 B． i<10
C． i>20 D． i<20
5．拋物線
的準線與雙曲線等
的兩條漸近線所圍成的
三角形面積等于 （ ）
A．
B．
C．2 D． 
6．已知A為三角形的一個內角，sin
=
, 則
= （ ）
A．
B．
C．
或 D．
或
7．已知
，且
，則
與
的夾角為（ ）
A．
B．
C．
D．
8．給出下列四個結論：
①
；
②命題“
的否定是“
”；
③“若
則
”的逆命題為真；
④集合
，則“
”是“
”
充要條件則其中正確結論的序號為 （ ）
A．①③ B．①② C．②③④ D．①②④
9．設數列
是首項為1公比為3的等比數列，把中的每一項都減去2后，得到一個新數列
，的前n項和為
，對任意的n
, 下列結論正確的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函數
是定義在R上的奇函數，且當
時不等式
成立， 若
，
，則
的大小關系是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 選擇題 （共100分）
注意事項：
1．第Ⅱ卷用藍、黑色的鋼筆或圓珠筆直接答在試卷中．
2．答卷前，請將密封線內的項目填寫清楚．
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在答題卷中相應的橫線上．
11．
的展開式中常數項為
．
12．對某校400名學生的體重（單位：
）進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，
則學生體重在60以上的人數為
．
13．已知圓
的參數方程為
（
為參數），直線
的極坐標方程為
，則圓與直線
的公共點的個數是 ．
14．如圖，PA切⊙O于點A，割線PBC經過圓
心O，OB=PB=1，OA繞點O逆時針旋轉60°
到OD，則PD的長為 ．
15． 若關于
的不等式
對
任意
在
上恒成立，則實常數
的取值范圍是
．
16．有兩排座位，前排10個座位，后排11個座位，現安排
人就座，如果因故后排中間的
個座位不能坐，并且這人不能左右相鄰，那么不同排法的種數是
．
三、解答題：本大題6小題，共76分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）已知函數
．
（I）求函數的最小正周期；
（II）將函數
的圖象向左平移
個單位，向下平移b個單位,得到函數
的圖象,求
的值；
（Ⅲ）求函數
的值域．
18．（本小題滿分12分）2008年北京奧運會乒乓球比賽中，共設男子單打、女子單打、男子團體、女子團體四枚金牌．中國乒乓球男隊獲得每枚金牌的概率均為
，中國乒乓球女隊獲得每枚金牌的概率均為
,已知中國女隊包攬兩枚金牌的概率為
．
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ） 記中國乒乓球隊獲得金牌的枚數為
，求的分布列和數學期望
．
19．（本小題滿分12分）如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，
，
（I）求證：CD
;
（II）求AD與SB所成角的余弦值;
（III）求二面角A―SB―D的余弦值．
20．（本小題滿分12分）
數列
滿足 
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）記
，是否存在一個實數t，使數列
為等差數列？若存在，求出實數t；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求數列{
}的前n項和Sn ．
21．（本小題滿分14分）橢圓
過點P
，且離心率為
，F為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且 
，定點A（－4，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：當
時 ，
；
（Ⅲ）當M、N兩點在C上運動，且
=6時, 求直線MN的方程．
 |
22．（本小題滿分14分）
設函數
（
R）．
（Ⅰ）當
時，求
的極值；
（Ⅱ）當
時，求的單調區間；
（Ⅲ）當
時，對于任意正整數n，在區間
上總存在m+4個數
使得
成立，試問：正整數m是否有最大值？若有求其最大值；否則，說明理由．
一、選擇題：
1．A 2． D 3．C 4．A 5．D 6．A 7．B 8．B 9．C 10．C
二、填空題：
11．
12．100 13．2 14．
15．
16．276
三、解答題：
17．解：
（I）
----2分
-------------3分
函數
的最小正周期是
-------------4分
18．解：（Ⅰ）由已知得，
則
． -------------4分
（Ⅱ）中國乒乓球隊獲得金牌數是一隨機變量
，
它的所有可能取值為0，1，2，3，4 （單位: 枚）．那么-------------5分
-------------6分
，
-------------8分
19．解：
（I）
是矩形，
--------------1分
又
-------------2分
-------------3分
CD
----------4分
（II）由
，及（I）結論可知DA、DC、DS
兩兩互相垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系
--------------5分
--------------6分
--------------7分
AD與SB所成的角的余弦為
--------------8分
（III）
設面SBD的一個法向量為
--------------9分
CD是CS在面ABCD內的射影，且
--------------6分
--------------8分
從而SB與AD的成的角的余弦為
（III）
面ABCD．
BD為面SDB與面ABCD的交線．
SDB
于F，連接EF， 從而得：
為二面角A―SB―D的平面角
--------------10分
在矩形ABCD中，對角線
中，
所以所求的二面角的余弦為
--------------12分
20．解：
（Ⅰ）由
----------1分
----------2分
------------3分
（Ⅱ）假設存在實數t，使得
為等差數列．
則
------------4分
------------5分
------------6分
存在t=1，使得數列
為等差數列． ------------7分
（Ⅲ）由（1）、（2）知：
------------8分
又為等差數列．
------------9分
------------10分
--11分
………………12分
21．解：
…………2分
………………3分
，
，橢圓C的方程為
--4分
，
， 
時，
， ----５分
---------６分
，則
（舍去），
------------７分
．
------------8分
=6
．--９分
………………12分
……………………13分
…………14分
．
時，
，
．
，解得
．
時，
；當
時，
．
，
，無極大值 ． ………………（3分）
． 
． ………………（4分）
，令
，
時，
，
或
．
時，
．
時，得
，
；
．
，增區間
． 
時，
；增區間為
．
，
． …………………………（9分）
時，
對一切正整數成立。…………11分
（當且僅當n=1時取等號）
單調遞增，
，
為正整數，得
，
滿足條件．
的最大值為32． ………………………………（14分）