江蘇省如皋海安八校2009屆高三第一學期期中聯合考試
數學試卷
（時間：120分鐘 滿分：160分）
一．填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分. 不需寫出解答過程．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.http://www.mathedu.cn絡中國數學教育網
1．集合
，
，若
是
的充要條件，則
等于 ▲ ．
2．命題“每一個素數都是奇數”的否定是 ▲ ．
3．如圖，給出冪函數
在第一象限內的圖象，
取
四個值，則相應于曲線
的依次為 ▲ ．
4．設奇函數
滿足：對
有
，則
▲ ．
5．執行右邊的程序框圖,若
,則輸出的
▲ .
6．設函數
，則的單調遞
增區間為 ▲ ．
7．已知函數
，若
，則
實數
的取值范圍是 ▲ ．
8．已知向量
，其中
、
均為非零向量，則
的取值范圍是 ▲ ．
9．右圖是由一些相同的小正方體構成的幾何體的
三視圖，這些相同的小正方體共有 ▲ 個．
10．若方程
的實根在區間
內，
且
，
則
▲ ．
11．已知復數
，
，若
是實
數，則實數 
▲ ．
12．平面向量
，
共線的充要條件是 ▲ ．
①
，方向相同 ② ，兩向量中至少有一個為零向量
③ 
，
④ 存在不全為零的實數
，
，
13．定義運算
為:
例如，
,則函數f(x)=
的值域
為 ▲ ．
14．若兩個函數的圖象經過若干次平依后能夠重合，則稱這兩個函數為“同形”函數．給出下列四個函數：①
②
， ③
，
④
其中“同形”函數有 ▲ ．
二．解答題:本大題共6小題，共90分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(本小題滿分14分)
在銳角
中，角
、
、
的對邊分別為
、
、
，且滿足
．
（1）求角的大小；
（2）設
，試
求的取值范圍．
16．(本小題滿分14分)
如圖，四邊形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，
MA^平面ABCD，PB＝AB＝2MA．
求證：（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD^平面PBD．
17．(本小題滿分15分)
已知函數
．
（1）求函數
在
內的單調遞增區間；
（2）若函數在
處取到最大值，求
的值；
（3）若
，求證：方程
在
內沒有實數解．
（參考數據：
）
18．(本小題滿分15分)
據調查,某地區100萬從事傳統農業的農民,人均收入3000元,為了增加農民的收入，當地政府積極引進資金，建立各種加工企業，對當地的農產品進行深加工，同時吸收當地部分農民進入加工企業工作，據估計，如果有
萬人進企業工作，那么剩下從事傳統農業的農民的人均收入有望提高
％，而進入企業工作的農民的人均收入為3000元(＞0)．
（1）在建立加工企業后，要使從事傳統農業的農民的年總收入不低于加工企業建立前的農民的年總收入，試求
的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當地政府應該如何引導農民（即多大時），能使這100萬農民的人均年收入達到最大．
19．(本小題滿分16分)
已知定義域為[0，1]的函數同時滿足以下三個條件：
①
對任意
，總有 
；
②
；
③
若
，則有
成立.
(1) 求
的值；
(2) 函數
在區間[0,1]上是否同時適合①②③？并予以證明；
(3) 假定存在
,使得
,且
, 求證:
．
20．(本小題滿分16分)
已知函數
是奇函數.
(1) 求實數的值；
(2) 判斷函數在
上的單調性，并給出證明；
(3) 當
時，函數的值域是，求實數與
的值；
(4) 設函數
，
時，存在最大實數
，使得
時
恒成立，請寫出與的關系式．
1．2 2．有的素數不是奇數 3．
4．0 5．
6．
7．
8．[0，2] 9．
10．－3 11．-1
12．④ 13．
14．①③
15．解：（1）因為
，所以
，
即 
而 
，所以
．故 
（2）因為 
所以 
．
由
得 
所以 
從而
故
的取值范圍是
．
16．（1）證明：因為PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，
所以PB∥MA．
因PBÌ平面BPC，MA (/平面BPC，
所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，
因為MAÌ平面AMD，ADÌ平面AMD，
MA∩AD＝A，所以平面AMD∥平面BPC．
（2）連接AC，設AC∩BD＝E，取PD中點F，
連接EF，MF．
因ABCD為正方形，所以E為BD中點．
因為F為PD中點，所以EF∥=PB．
因為AM∥=PB，所以AM∥=EF．所以AEFM為平行四邊形．所以MF∥AE．
因為PB^平面ABCD，AEÌ平面ABCD，所以PB^AE．所以MF^PB．
因為ABCD為正方形，所以AC^BD．
所以MF^BD．所以MF^平面PBD．又MFÌ平面PMD．
所以平面PMD^平面PBD．
17．解：（1）
令
則
由于
，則
在
內的單調遞增區間為
和
（2）依題意，
由周期性 
（3）函數
為單調增函數，且當
時，
，
此時有
當
時，由于
，而
，則有
，
即
，即
而函數的最大值為
，且為單調增函數，
則當
時，恒有，
綜上，在
內恒有，所以方程
在內沒有實數解．
18．解：（1）由題意得:（100-x）? 3000 ?(1+2x%) ≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50， 又∵x＞0 ∴0＜x≤50；
（2）設這100萬農民的人均年收入為y元，
則y= =
即y=－[x－25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0<x≤50)
（i）當0<25(a+1)≤50，即0＜a≤1，當x=25(a+1)時，y最大；
（ii）當25(a+1)＞50，即a ＞1，函數y在（0,50]單調遞增，∴當x=50時，y取最大值．
答：在0＜a≤1時，安排25(a+1)萬人進入企業工作，在a＞1時安排50萬人進入企業
工作，才能使這100萬人的人均年收入最大．
19．（1）解：由①知：
；由③知：
，即
； ∴
(2 ) 證明：由題設知：
；
由
知
，得
，有
；
設
，則
，
；
∴
即
∴函數
在區間[0,1]上同時適合①②③.
(3) 證明：若
,則由題設知:
,且由①知
,
∴由題設及③知：
,矛盾；
若
,則則由題設知：
, 且由①知
,
∴同理得：
,
矛盾；故由上述知: 
．
20．解： (1) 由題設知：
對定義域中的
均成立.
∴
.
即
∴
對定義域中的均成立.
∴
即
（舍去）或
. ∴ .
(2) 由(1)及題設知：
，
設
，
∴當
時，
∴
.
當
時，
，即
.
∴當時，
在
上是減函數.
同理當
時，在上是增函數.
(3) 由題設知：函數的定義域為
，
∴①當
時，有. 由(1)及(2)題設知：在
為增函數，由其值域為知
（無解）；
②當
時，有
.由(1)及(2)題設知：在為減函數, 由其值域為知
得
，
.
(4) 由(1)及題設知：
，
則函數
的對稱軸
，
∴
.
∴函數在
上單調減.
∴
是最大實數使得恒有
成立，
∴
,即
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