高三數學專題講座（復數）2001年5月10日
1、（2000年）在復平面內，把復數
對應的向量按順時針方向旋轉
，所得向量對應的復數是
（A）
（B）
（C）
（D）
2、（2000年春季）復數
則
在復平面內的對應點位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3、（2000年春季）設復數z1=2sin
+icos
在復平面上對應向量
，將按順時針方向旋轉
后得到向量
，對應的復數為Z2=r(cosj+isinj),則tgj=
(A)
(B)
(C)
(D)
4、（2000年上海）設復數
滿足
,且
在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上,
,求和
的值.
5、（1999年）設復數
，求函數
的最大值及對應的的值。
6、（1998年）復數?i的一個立方根是i，它的另外兩個立方根是
（A）
（B）
（C）
（D）
7、（1997年）已知復數
，
，復數
、
在復平面上所對應的點分別為P、Q。證明△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點）
8、（1996年）復數
等于
(A)、1+
i (B)、-1+i (C)、1-i (D)-1-i
9、（1995年）在復平面上，一個正方形的四個頂點按照逆時針方向依次為Z1, Z2 ,Z3
,O（其中O是原點），已知Z2對應復數Z2=1+i。求Z1和Z2對應的復數。
10、（1994年）如果復數z滿足 |z+ i |+ | z-i |=2，那么 | z+i+1 |的最小值是
（A）1 （B）
（C）2 （D）
11、（1994年）已知z=1+i,(1)設w=
,求w的三角形式；
(2)如果
，求實數a、b的值。
12、（1993年）設復數z=cosq+isinq (0<q<p)，w=
，并且|w|=
，argw<
， 求 q
13、（2001年春季）已知
．
（Ⅰ）證明
；
（Ⅱ）設
的輻角為
，求
的值．
14、（2000年上海）復數
15、（2000年上海）已知復數
均為實數，
為虛數單位，且對于任意復數
。
（1）試求
的值，并分別寫出
和
用
、
表示的關系式；
（2）將(、)作為點
的坐標，(、)作為點
的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點，
當點在直線
上移動時，試求點經該變換后得到的點的軌跡方程；
（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。
1、B
2、D
3、A
4、［解法一］設
而
又∵
在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上,
∴
,得
.
∴
. 即
;
,
當
時,有
,即
,得
.
當
時,同理可得
.
［解法二］
,∴
,
得
或
得
.
當時,有,即,得.
當時,同理可得.
5、解:由
由
得
故
當且僅當
時,即
時,上式取等號.
所以當
時,函數
取最大值
6、D
7、解：因為
因為
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形。
8、B
9、解：設Z1，Z3對應的復數分別為
依題設得
10、A
11、（1）
（2）
12、
，
或
13、解：（Ⅰ）由 
，
得
． ……4分
因為 
，
，
所以 
． ……6分
（Ⅱ）因為
，
所以 
，而
，所以
，
，同理
，
．
由（Ⅰ）知 
，
即 
，
所以 
的實部為
， ……8分
而
的輻角為
時，復數的實部為
，
所以 
……12分
14、C
15、[解]（1）由題設，
，
于是由
，
…（3分）
因此由
，
得關系式
…（5分）
[解]（2）設點
在直線
上，則其經變換后的點
滿足
，
…（7分）
消去
，得
，
故點
的軌跡方程為
…（10分）
[解]（3）假設存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，
∴所求直線可設為
，
…（12分）
[解法一]∵該直線上的任一點，其經變換后得到的點
仍在該直線上，
∴
，
即
，
當
時，方程組
無解，
故這樣的直線不存在。 …（16分）
當
時，由
得
，
解得
或
，
故這樣的直線存在，其方程為
或
，
…（18分）
[解法二]取直線上一點
，其經變換后的點
仍在該直線上，
∴
，
得
，
…（14分）
故所求直線為
，取直線上一點
，其經變換后得到的點
仍在該直線上。
∴
，
…（16分）
即，得或，
故這樣的直線存在，其方程為或，
…（18分）
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