天津市和平區2008-2009學年度高三第二學期第一次質量調查
數學理
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘。
第I卷
本卷共10小題，每小題5分，共50分。
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1 復數
等于
A 
B 
C 
D 
2 設變量x，y滿足約束條件
，則目標函數
的最小值為
A 
B 
C 
D 
3 設集合
，則
A 
B 
C 
D 
4 在等比數列
中，
，且
，則
等于
A 
B 
C 
D 
5 過點
作直線l與圓
交于A、B兩點，如果|AB|=8，則直線l的方程為
A 
B 
C 
D 
6 如圖，在正四面體
中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論不成立的是
A
C 平面PDF⊥平面PAE D 平面PDE⊥平面ABC
7 已知函數
的最小正周期為
，則該函數的圖象
A 關于直線
對稱 B 關于點
對稱
C 關于直線
對稱 D 關于點
對稱
8 
的值是
A 
B C 
D 
9 如圖，F為拋物線
的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若
，則
等于
A 6 B
10 已知0<a<b，且a+b=1，下列不等式成立的是
A 
B 
C 
D 
第II卷
本卷共12小題，共100分。
11 某校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本，已知從女生中抽取的人數為80，則n等于________。
12 在如下圖所示的程序框圖中，當程序被執行后，輸出s的結果是________。
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分。把答案填在題中橫線上。
13 在
的展開式中，
的系數是________（用數字作答）。
14 已知△ABC的三邊長分別為AB=7，BC=5，CA=6，則
的值為________。
15 有5名男生和3名女生，從中選出5人分別擔任語文、數學、英語、物理、化學學科的科代表，若某女生必須擔任語文科代表，則不同的選法共有________種（用數字作答）。
16 如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C作圓O的切線，交AB的延長線于點D。若
，則BD的長為________；AC的長為________。
17 （本小題滿分12分）
三、解答題：本大題共6小題，共76分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
在△ABC中，
。
（I）求cosC；
（II）設
，求AB。
18 （本小題滿分12分）
在4名男生和3名女生中挑選3人參加志愿者服務活動。
（I）求至多選中1名女生的概率；
（II）記女生被選中的人數為隨機變量
，求的分布列和數學期望。
19 （本小題滿分12分）
如圖，正四棱錐P―ABCD的底面邊長與側棱長都是2，點O為底面ABCD的中心，M為PC的中點。
（I）求異面直線BM和AD所成角的大小；
（II）求二面角M―PB―D的余弦值。
20 （本小題滿分12分）
已知等差數列的前三項為
，記前n項和為
。
（I）設
，求a和k的值；
（II）設
的值。
21 （本小題滿分14分）
設A、B分別為橢圓
為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距。
（I）求橢圓的方程；
（II）設
，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內。
22 （本小題滿分14分）
已知函數
。
（I）求
的值域；
（II）設
，函數
。若對任意
，總存在
，使
，求實數a的取值范圍。
一、選擇題
1 B
二、填空題
11 192 12
286 13 
14
15
840 16 
三、解答題
17 （本題12分）
解：（I）
2分
（II）
8分
由已知條件
根據正弦定理，得
10分
12分
18 （本題12分）
解：（I）在7人中選出3人，總的結果數是
種， （2分）
記“被選中的3人中至多有1名女生”為事件A，則A包含兩種情形：
①被選中的是1名女生，2名男生的結果數是
，
②被選中的是3名男生的結果數是
4分
至多選中1名女生的概率為
6分
（II）由題意知隨機變量
可能的取值為：0，1，2，3，則有
，
8分
∴
0
1
2
3
P
10分
∴的數學期望
12分
19 （本題12分）
解：（I）連接PO，以OA，OB，OP所在的直線為x軸，y軸，z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系。 2分
∵正四棱錐的底面邊長和側棱長都是2。
∴
∴
（II）∵
∴
是平面PDB的一個法向量。 8分
由（I）得
設平面BMP的一個法向量為
則由
，得
，不妨設c=1
得平面BMP的一個法向量為
10分
∵二面角M―PB―D小于90°
∴二面角M―PB―D的余弦值為
12分
20 （本題12分）
解：（I）由已知得
2分
由
，得 4分
即
。解得k=50或
（舍去）
6分
（II）由
，得
8分
9分
是等差數列
則
11分
12分
21 （本題14分）
解：（I）依題意得
2分
把
解得
∴橢圓的方程為
4分
（II）由（I）得
，設
，如圖所示，
∵M點在橢圓上，
∴
①
∵M點異于頂點A、B，
∴
由P、A、M三點共線，可得
，
從而
7分
∴
② 8分
將①式代入②式化簡得
10分
∵
∴
12分
于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
∴點B在以MN為直徑的圓內。 14分
22 （本題14分）
解：（I）
，
令
2分
而
∴當
4分
（II）設函數g(x)在[0，2]上的值域是A，
∵若對任意
∴
6分
①當
，
∴函數
上單調遞減。
∵
∴
； 8分
②當
令
（舍去） 9分
（i）當
時，
的變化如下表：
（ii）當
∴函數g(x)在（0，2）上單調遞減。
綜上可知，實數a的取值范圍是
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