題目列表(包括答案和解析)
(14分)設A、B分別為橢圓
的左、右頂點，(
)為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設
，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，
求證：
為鈍角．
(14分)設A、B分別為橢圓
的左、右頂點，(
)為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設
，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明在以MN為直徑的圓內．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| a2 |
| c |
| a2 |
| c |
的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．一、選擇題
1 B
二、填空題
11 192 12
286 13 
14
15
840 16 
三、解答題
17 （本題12分）
解：（I）
2分
（II）
8分
由已知條件
根據正弦定理，得
10分
12分
18 （本題12分）
解：（I）在7人中選出3人，總的結果數是
種， （2分）
記“被選中的3人中至多有1名女生”為事件A，則A包含兩種情形：
①被選中的是1名女生，2名男生的結果數是
，
②被選中的是3名男生的結果數是
4分
至多選中1名女生的概率為
6分
（II）由題意知隨機變量
可能的取值為：0，1，2，3，則有
，
8分
∴
0
1
2
3
P
10分
∴的數學期望
12分
19 （本題12分）
解：（I）連接PO，以OA，OB，OP所在的直線為x軸，y軸，z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系。 2分
∵正四棱錐的底面邊長和側棱長都是2。
∴
∴
（II）∵
∴
是平面PDB的一個法向量。 8分
由（I）得
設平面BMP的一個法向量為
則由
，得
，不妨設c=1
得平面BMP的一個法向量為
10分
∵二面角M―PB―D小于90°
∴二面角M―PB―D的余弦值為
12分
20 （本題12分）
解：（I）由已知得
2分
由
，得 4分
即
。解得k=50或
（舍去）
6分
（II）由
，得
8分
9分
是等差數列
則
11分
12分
21 （本題14分）
解：（I）依題意得
2分
把
解得
∴橢圓的方程為
4分
（II）由（I）得
，設
，如圖所示，
∵M點在橢圓上，
∴
①
∵M點異于頂點A、B，
∴
由P、A、M三點共線，可得
，
從而
7分
∴
② 8分
將①式代入②式化簡得
10分
∵
∴
12分
于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
∴點B在以MN為直徑的圓內。 14分
22 （本題14分）
解：（I）
，
令
2分
而
∴當
4分
（II）設函數g(x)在[0，2]上的值域是A，
∵若對任意
∴
6分
①當
，
∴函數
上單調遞減。
∵
∴
； 8分
②當
令
（舍去） 9分
（i）當
時，
的變化如下表：
（ii）當
∴函數g(x)在（0，2）上單調遞減。
綜上可知，實數a的取值范圍是
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