岳陽市一中2009年上期高三第七次考試
文科數學
時量：120 分鐘
分值：150分 命題人：秦玉琴
一、選擇題。（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 若集合M=
，N=
，那么
為 （ ）
A．
B．
C．
D．
2. 函數
（x>0）的反函數為（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 
＋
是
的
（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.設
表示三條直線，
表示兩個平面，則下列命題中逆命題不成立的是（ ）
A.
若
則
B. 
若
，則
C.
若
則
D. c是
在
內的射影，若
則
5. 在等差數列
中，已知
則
等于 （ ）
A．40 B．
6. 把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移
個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是
（ ）
A.（1－y）sinx+2y－3=0 B.（y－1）sinx+2y－3=0
C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=0
7.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師派到3個班擔任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男女教師都有，則不同的選派方案共有
（
）
A.210種
B.420種
C. 630種
D.840種
8. 若不等式組
表示的平面區域是一個三角形，則的取值范圍是（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．或
二、填空題。（本大題共7個小題，每小題5分，共35分。把答案填在答題卡相應位置。）
9. 
的展開式中的常數項是______________（用數字作答）．
10.函數
在區間[-1,2]上的最大值是__________.
11. 球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的
，經過這3個點的小圓的周長為4π，那么這個球的半徑為____________.
12. 過雙曲線
的左焦點，且垂直于
軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于
.
13. 把容量為100的某個樣本數據分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數成公比大于2的整數等比數列，則剩下三組中頻數最高的一組的頻數為___________.
14. 點M在拋物線y2＝ax上運動，點N與點M關于點A（1，1）對稱，則點N的軌跡方程是
.
15. 給出下列函數：
①函數
與函數
的定義域相同;
②函數
與
的值域相同;
③函數y=
與
均是奇函數;
④函數
與
在
上都是增函數.
其中正確命題的序號是
（把你認為正確的命題的序號都填上）
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.在△ABC中，
分別是
的對邊，且
（1）求角B的大小；（2）若
，求的值；
17.正三棱柱
-
的底面邊長為4，側棱長為4，
為
的中點，
（1）求
與
所成的角；
（2）求二面角
的大小；
（3）求點
到平面BCD的距離。
18.當下的金融危機使得年輕人開始重視多種技能的學習，某培訓學校開設了計算機、英語、營銷管理3門繼續教育培訓課程，若一共有100人報名，且3門課程分別有80、50、25人次參加（一人可參加多門課程，不同課程之間學習沒有影響）。某記者隨機采訪了該校的2位學生。
（1）求至少有1人3門課程都參加了的概率。
（2）求3門課程中每一門恰有1人參加的概率。
19.已知數列
的前
項和為
，且
是與2的等差中項，數列
中，
，點
在直線
上。
⑴求
和
的值；
⑵求數列
的通項和
；
⑶ 設
，求數列
的前n項和
。
20設
分別為橢圓
的左、右兩個焦點，若橢圓C上的點
兩點的距離之和等于4.
⑴ 求出橢圓C的方程和焦點坐標；
⑵ 過點P（0，
）的直線與橢圓交于兩點M、N，若以MN為直徑的圓通過原點，求直線MN的方程.
21.對于三次函數
。
定義：（1）設
是函數
的導數
的導數，若方程
有實數解
，則稱點
為函數的“拐點”；
定義：（2）設為常數，若定義在
上的函數對于定義域內的一切實數
，都有
成立，則函數的圖象關于點對稱。
己知
，請回答下列問題：
（1）求函數
的“拐點”
的坐標
（2）檢驗函數的圖象是否關于“拐點”對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論（不必證明）
（3）寫出一個三次函數
，使得它的“拐點”是
（不要過程）
岳陽市一中2009年上期高三第七次考試
文科數學
時量：120 分鐘 分值：150分 命題人：秦玉琴
一、選擇題。（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 若集合M=，N=，那么為 （ B ）
A． B． C． D．
2. 函數（x>0）的反函數為（ A ）
A. B. C. D.
3. ＋是的
（ B ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.設表示三條直線，表示兩個平面，則下列命題中逆命題不成立的是（ C ）
A.若則
B. 若，則
C.若則 D. c是在內的射影，若則
5. 在等差數列中，已知則等于 （ B
）
A．40 B．
6. 把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是
(C)
A.（1－y）sinx+2y－3=0 B.（y－1）sinx+2y－3=0
C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=0
7.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師派到3個班擔任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男女教師都有，則不同的選派方案共有（ B ）
A.210種 B.420種 C. 630種 D.840種
8. 若不等式組
表示的平面區域是一個三角形，則的取值范圍是（D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
二、填空題。本大題共7個小題，每小題5分，共35分。把答案填在橫線上。
9. 的展開式中的常數項是______60________（用數字作答）．
10.函數在區間[-1,2]上的最大值是__8________.
11. 球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經過這3個點的小圓的周長為4π，那么這個球的半徑為_____
_______.
12. 過雙曲線的左焦點，且垂直于軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于
2 .
13. 把容量為100的某個樣本數據分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數成公比大于2的整數等比數列，則剩下三組中頻數最高的一組的頻數為_______16____.
14. 點M在拋物線y2＝ax上運動，點N與點M關于點A（1，1）對稱，則點N的軌跡方程是
.
15. 給出下列函數：
①函數與函數的定義域相同;
②函數與的值域相同;
③函數y=與
均是奇函數;
④函數與在上都是增函數.
其中正確命題的序號是 ①③④ （把你認為正確的命題的序號都填上）
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.在△ABC中，分別是的對邊，且
（1）求角B的大小；（2）若，求的值；
解：（1）由得
即：
∴
而
又
而
（2）利用余弦定理可解得：
或
17.正三棱柱-的底面邊長為4，側棱長為4，為 A1的中點，
（1）求與所成的角；(arccos
)
（2）求二面角的大小；(arctan
)
（3）求點到平面BCD的距離。(2
)
18.當下的金融危機使得年輕人開始重視多種技能的學習，某培訓學校開設了計算機、英語、營銷管理3門繼續教育培訓課程，若一共有100人報名，且3門課程分別有80、50、25人次參加（一人可參加多門課程，不同課程之間學習沒有影響）。某記者隨機采訪了該校的2位學生。
（1）求至少有1人3門課程都參加了的概率。
（2）求3門課程中每一門恰有1人參加的概率。
解：由題意知：某人參加了這3門課程的概率分別為
-----------------------（2分）
（1） 設事件Ai：第i個人3門課程都參加了（
）；
事件B：至少有1人3門課程都參加了。----------------------------------------（3分）
則
，--------------------------------（4分）
Þ
=
-----------------（6分）
（2） 設事件Ci：第i門課程恰有1人參加(
)，
事件D：3門課程中每一門都恰有1人參加.----------------------------------------（7分）
則：
------------------------------------（10分）
-----------------------------------（12分）
19.已知數列的前項和為，且是與2的等差中項，數列中，，點在直線上。
⑴求和的值；
⑵求數列的通項和；
⑶ 設，求數列的前n項和。
解：（1）∵是
與2的等差中項，
∴
。
…………1分
∴
…………3分
（2）
。
∵a1＝2，∴
。
…………6分
。
∴
…………8分
（3）
…………10分
。
因此：
，
12分
即：
，
∴
。
…………14分
20設分別為橢圓的左、右兩個焦點，若橢圓C上的點兩點的距離之和等于4.
⑴ 求出橢圓C的方程和焦點坐標；
⑵ 過點P（0，）的直線與橢圓交于兩點M、N，若以M、N為直徑的圓通過原點，求直線MN的方程.
解：（Ⅰ）橢圓C的焦點在x軸上，
由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2.；
又點
；
所以橢圓C的方程為
，………6分
（Ⅱ）直線MN不與x軸垂直，∴設直線MN方程為y=kx+，代入橢圓C的方程得
（3+4k2)x2+12kx-3=0,
設Ｍ(x1,y1),Ｎ(x2,y2),則x1+x2=-
, x1x2=-
,且△>0成立.
又
= x1x2+ y1y2= x1x2+( kx1+)(kx2+)=
-
-
+
=0，
∴16k2=5,k=±
,∴MN方程為y=±x+……………14分
21.對于三次函數。
定義：（1）設
是函數的導數的導數，若方程
有實數解，則稱點為函數的“拐點”；
定義：（2）設為常數，若定義在上的函數對于定義域內的一切實數，都有成立，則函數的圖象關于點對稱。
己知，請回答下列問題：
（1）求函數的“拐點”的坐標
（2）檢驗函數的圖象是否關于“拐點”對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論（不必證明）
（3）寫出一個三次函數，使得它的“拐點”是（不要過程）
【標準答案】
（1）依題意，得：
，
。……………………2分
由 ，即
。∴
，又
，
∴的“拐點”坐標是
。……………………4分
（2）由(1)知“拐點”坐標是。
而
=
=
=
，
由定義(2)知：
關于點對稱。……………………8分
一般地，三次函數
的“拐點”是
，它就是的對稱中心。…………………………………………………………10分
（或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數………）都可以給分
（3）
或寫出一個具體的函數,如
或
。…………12分
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